Системы с подвижным воздействием.

 

Широкое распространение получили системы с многоцикловыми источниками энергии. В этих системах источник совершает периодическое или близкое к периодическому движению. Подобного рода устройства используются в плавильных печах.

Рассмотрим электронно-лучевой нагрев стержней при их испытании на термопрочность.

Рис. 1.Система электронно-лучевого нагрева.

К-катод; А- анод; ФУ – фокусирующее устройство; ОУ – отклоняющее устройство; Ц – цанги; СП – сканирующий пирометр; С – стержень.

Нагрев С осуществляется электронным пучком, колеблющимся периодически с помощью отклоняющей системы. В результате воздействия электронов вдоль стержня со скоростью V перемещается источник тепла. Процесс нагрева определяется мощностью, скоростью движения и фокусировкой электронного луча.

Система управления должна учитывать неоднородность теплообмена стержня с окружающей средой.

, (1)

где:

- коэффициент температуропроводности;

- температура стержня;

- коэффициент теплообмена за счет облучения;

- температура окружающей среды.

 

Запишем закон управления:

. (2)

Граничные условия:

. (3)

Начальные условия:

. (4)

Система управления процессом теплообмена.

 

Будем рассматривать в качестве примера теплообменный аппарат и управление им. Теплообменный аппарат используется на электрических, тепловых, атомных электростанциях.

Рис. 1. Теплообменный аппарат.

Рег – регулятор; ДТ – датчик температуры.

На рисунке 1 обозначено:

Q₁(x, t) – температура греющего агента,

Q₂(x, t) – температура нагреваемого агента,

V₁ – скорость греющего агента,

V₂ – скорость нагреваемого агента,

α ₁ – коэффициент теплообмена греющего агента с внешней средой,

α ₂ – коэффициент теплообмена нагреваемого агента с внешней средой.

 

Следует также отметить, что теплообменные аппараты бывают прямоточными и противоточными.

Уравнение для греющего агента может быть записано в следующей форме:

, (1)

где:

f₁(x, t) – тепловой поток, сообщаемый греющему агенту;

- коэффициент теплообмена греющего агента с окружающей средой.

Граничные условия:

. (2)

Начальные условия:

. (3)

 

Запишем уравнение для нагреваемой среды:

(4)

где:

f₂(x, t) – тепловой поток, сообщаемый нагреваемому агенту;

- коэффициент теплообмена нагреваемого агента с окружающей средой.

В уравнении (4) знак «+», если направление V₁ и V₂ совпадает, знак «–», если противоток.

Граничные условия:

. (5)

Начальные условия:

. (6)

Связь между греющим и нагреваемым агентами осуществляется за счет тепловых потоков между ними. В случае линейного теплообмена будем иметь следующие зависимости:

(7)

(8)

 

Задача управления состоит в поддержании температуры нагреваемого агента на необходимом уровне:

(9)

Запишем закон управления:

. (10)

. (11)

. (12)

 

Как следует из формул (10, 11, 12) управление процессом нагрева может осуществляться за счет изменения греющего агента на входе теплообменника, за счет изменения скорости течения греющего агента и за счет изменения скорости течения нагреваемого агента.

Лекция 4

Метод разделения переменных – однородная краевая задача

Метод разделения переменных

Рассмотрим задачу процесса распространения тепла в однородном ограниченном теплопроводном стержне.

(Рис. 1)

Запишем уравнение распространения тепла:

, (1)

,

где:

u(x, t) – температура стержня;

х – пространственная переменная;

t – время;

a² – коэффициент температуропроводности;

f(x, t) – внешнее воздействие.

Начальные условия:

, . (2)

Граничные условия:

(3)

В основе решения данной задачи положим принцип суперпозиции или принцип независимости действий.

Однородная краевая задача.

. (4)

Начальные условия:

. (5)

Граничные условия:

(6)

Данную задачу будем решать методом разделения переменных.

, . (7)

Подставим (7) в (4), будем иметь:

,

,

.

Последнее уравнение – это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

. (8)

Можно заметить, что левая часть уравнения (8) не зависит от правой. Это дает возможность приравнять левую и правую часть к какой-либо величине.

Необходимо найти такое значение , чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям задачи. Таким образом, из уравнения (8) получим два уравнения вида:

. (9)

. (10)

Рассмотрим уравнение (9) при граничных условиях (6) с учетом выражения (7).

(11)

Найдем значение , при котором существуют нетривиальные решения для (9), (10).

Значения параметра в этом случае называют собственными числами данной задачи, соответствующие решения называют собственными функциями данной задачи.

Эта задача математической физики называется задачей Штурмана-Уильямса.

Рассмотрим уравнение (9). Его решение имеет вид:

.

Подставим это решение в уравнение (9), получим:

.

Из последнего уравнения следует:

.

Рассмотрим случаи: .

1) При будем иметь:

.

.

Для нахождения воспользуемся (11):

2) При будем иметь:

.

При получаем, что решение уравнения (9) становится тривиальным. Это говорит о том, что выбирать нельзя.

3) При будем иметь:

.

Тогда решение (9) будет иметь вид:

Воспользуемся условиями (11), получим:

(12)

Собственному значению (12) будет соответствовать решение:

. (13)

Уравнение (13) есть собственная функция задачи.

Рассмотрим теперь уравнение (10). Решение уравнения (10) будем искать в виде:

(14)

Согласно общего решению (7), используя (13), (14), мы получаем следующее уравнение:

.

. (15)

Решение (15) будет являться частным решением задачи, которое будет удовлетворять нулевым граничным условиям. Для того, чтобы получить общее решение мы должны найти сумму всех решений.

. (16)

Для определения воспользуемся начальным условием (5), будем иметь:

(17)

Из анализа или по виду (17) можно сказать, что является коэффициентом ряда Фурье при разложении функции в ряд по на интервале изменения .

Запишем коэффициенты ряда Фурье:

. (18)

Запишем решение задачи:

(19)

Перепишем (19) в следующем виде:

.

Введем обозначение:

. (20)

Где - функция мгновенного точечного источника (функция Грина).

С учетом (20) уравнение (19) можно компактно переписать в виде:

. (21)

Функция мгновенного точечного источника представляет собой распределение температуры в стержне в момент времени , если температура в момент времени равна нулю и в этот момент в точке подействовало внешнее воздействие, равное:

.

. (22)

Справка:

Стробирующее свойство - функции:

(23)

Функция Грина аналогична по своей сути импульсной весовой функции в обыкновенных системах:

(Рис. 2)

Запишем интеграл Дюамеля:

. (24)

Следует отметить, что при , то .

В лекции решена задача Штурма – Лиувилля на нахождение собственных чисел и собственных функций краевой задачи. Получено решение однородной краевой задачи.

Лекция 5

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: