Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача

Неоднородная краевая задача.

. (1)

,

где:

u(x, t) – температура стержня;

х – пространственная переменная;

a² – коэффициент температуропроводности;

f(x, t) – внешнее воздействие.

Начальные условия:

; (2)

;

Граничные условия:

(3)

Будем искать решение данной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям вида:

. (4)

Представим функцию также в виде ряда Фурье по данной ортогональной системе:

. (5)

где:

. (6)

Выражения (4), (5) подставим в уравнение (1), будем иметь:

.

. (7)

Следует обратить внимание на то, что ряд (7) будет равен нулю, если все коэффициенты этого ряда будут равны нулю, так как . Тогда с учетом этого запишем:

. (8)

Получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Найдем начальные условия для уравнения (8) на основе соотношений (2), (4).

. (9)

Будем решать уравнения (8), (9):

. (10)

Подставим (10) в (4), получим:

. (11)

Преобразуем (11) с учетом (6), будем иметь:

.

Или

. (12)

Запишем функцию мгновенного точечного источника:

.

Приведем окончательное решение:

. (13)

Функция G представляет собой распределение температуры в стержне в момент времени, если температура в начальный момент времени ( ) равнялась нулю и в момент времени в точке выделяется некоторое количество тепла в виде - импульса и при этом на краях поддерживается нулевая температура.

Запишем следующее:

. (14)

 

Если подставить (14) в (13) будем иметь:

.

Общая краевая задача.

, (1)

.

Начальные условия:

. (2)

Граничные условия:

. (3)

Введем в рассмотрение выражение вида:

. (4)

где - основная функция;

- вспомогательная функция.

Подставим (4) в (1), будем иметь:

. (5)

Проведем следующие преобразования с (5):

. (6)

. (7)

. (8)

Таким образом, функция определяется уравнением (8), которое будем рассматривать при граничных условиях, полученных на основании (2-4).

Выразим из (4) :

. (9)

Имея начальные условия (2), запишем:

. (10)

Также на основании (3) можно записать:

(11)

Выберем вспомогательную функцию таким образом, чтобы:

(12)

Итак, нахождение функции связано с нахождением функции , которая находится как решение краевой задачи при нулевых граничных условиях. Метод ее нахождения нами был рассмотрен ранее.

Если начальные условия ненулевые, то к этому решению необходимо прибавить решение однородного уравнения при ненулевых начальных условиях (это справедливо для всех задач, рассматриваемых в этом курсе).

Приведем рассмотренные виды задач и соответствующие им решения:

Однородная краевая задача

.

Начальные условия:

.

Граничные условия:

.

Решение:

.

Неоднородная краевая задача

.

Начальные условия:

.

Граничные условия:

.

Решение:

.

В случае решение примет вид:

.

Общая краевая задача

.

Начальные условия:

.

Граничные условия:

Алгоритм решения:

1. .

2. .

.

.

Находится решение:

.

3. .

.

Находится решение:

.

4. .

5. .

Получено решение неоднородной и общей краевой задачи. Общая краевая задача решается как неоднородная краевая задача при нулевых начальных условиях.

Лекция 6.

Использование интегрального преобразования Лапласа

Для анализа СРП.

 

Основные понятия.

Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение). Это видоизменение – преобразование – производится при помощи умножения на некоторую экспоненциальную функцию и интегрирования в определенных пределах.

Пусть изучаемая функция есть кусочно-непрерывная функция вещественной переменной . Кусочно-непрерывной функцией называют однозначную функцию, имеющую в конечном интервале ( ) конечное число разрывов непрерывности в точках . В каждом интервале ( ) функция непрерывна, причем она стремиться к конечному пределу при приближении к границе.

Функцию называют оригиналом функции.

Преобразование Лапласа функции будет состоять в умножении её на и интегрировании в пределах от 0 до :

(1)

где - некоторая комплексная величина. В результате интегрирования получим некую функцию , которая называется преобразованной функцией по Лапласу, или изображением функции.

Таким образом, преобразование Лапласа является интегральным преобразованием; это преобразование изображается символом :

(2)

Причем изображение существует, если интеграл (1) сходиться.

Для упрощения основных соотношений ограничим класс рассматриваемых функций. Функцию принимают кусочно-непрерывной и отличной от 0 только при . Величина обозначает в дальнейшем , а равна нулю. Далее из класса кучно-непрерывных функций выделяем под класс функций, характеризуемых тем, что асимптотические значения функции при меньше асимптотического значения функции , где , т. е. при достаточно большом :

(3)

или

(4)

где - некоторое конечное положительное число.

При указанных ограничениях, накладываемых на функцию , интеграл (1) является регулярной функцией от s в правой полуплоскости от прямой , т. е. функция имеет производные всех порядков в указанной области и все её особые точки расположены в комплексной плоскости от прямой .

Условимся оригинал функции обозначать строчными буквами, а её изображение - прописными буквами., например: - оригинал функции, а - изображение, тогда:

(5)

Необходимо отметить, что не всякая функция имеет изображение. Например, не существует оригинала для функции , так как полюсы этой функции расположены на всей вещественной оси , а не слева от прямой . Однако можно показать, если Ф(s) является изображением, то соответствующий оригинал будет единственным, который являлся бы кусочно-непрерывной функцией.

Если функция растет быстрее, чем , то для нее существует изображения. Например функция не имеет изображения, так как для нее интеграл Лапласа расходиться. Однако, например, разрывная функция (она стремиться к бесконечности, когда ) имеет изображение , так как интеграл Лапласа сходиться.

Функция может быть ступенчатой; например,

(6)

Изображение её следующее

(7)

Свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности. Преобразование Лапласа является линейным, т. е. если А и В – постоянные, то по определению преобразованию Лапласа можно написать:

(8)

где и - соответственно изображения функций и .

Пользуясь этими свойством можно найти изображения ряда функций.

Изображение производной. Пусть . Найдем ,

где .

(9)

Вообще

(10)

Таким образом, для функции с указанным асимптотическим поведением при условии существования непрерывных ее производных вплоть до существует изображение для производной .

Интегрирование оригинала функции. Найдем изображение функции , т. е. найдем

(11)

Так как , то

(12)

Таким образом, интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения на величину , т. е. величина обладает свойством оператора интегрирования.

Обратное преобразование Лапласа. Символ обозначал преобразование функции , т. е. по оригиналу функции находим ее изображение. Это действие называют прямым преобразованием Лапласа. Во многих задачах необходимо найти оригиналы функции по её изображению . Условились символом обозначать обратное преобразование Лапласа, которое должно обозначать искомую функцию, т.е. оригинал функции.

, (13)

То обратное преобразование должно давать оригинал функции

. (14)

Например,

; (14)

. (15)

Более строгое рассмотрение вопроса приводит к заключению, что обратное преобразование Лапласа в общем случае не есть оригинал функции и только при известных условиях дает оригинал функции. Например, обратное преобразование функции равно , так как прямое преобразование даст изображение , но можно найти и другую функцию :

(16)

которая дает тоже изображение. Необходимо отметить, что имеет разрыв непрерывности при . Найти вторую непрерывную функцию для заданного изображения нельзя. Поэтому заданное изображение функции не может иметь больше одного оригинала функции , непрерывной для каждого значения . В большинстве рассматриваемых задач математической физики обратное преобразование является однозначным.

Обратное преобразование является линейным, что вытекает непосредственно из соотношения (1), т.е.

. (18)

Метод решения простейших дифференциальных уравнений

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно решать простейшие дифференциальные уравнения.

Метод решения состоит из следующих трех этапов.

1. К дифференциальному уравнению применяем преобразование Лапласа и вместо дифференциального уравнения для оригинала функции получаем уравнение для изображения функции.

Так как преобразование Лапласа является интегральным преобразованием и обладает свойствами операторов, то вместо дифференциального уравнения для оригинала функции получаем алгебраическое уравнение относительно изображения.

2. Полученное алгебраическое уравнение решается относительно изображения функции, причем s рассматривается как число. Следовательно, второй этап сводиться к нахождению решения для изображения функции.

3. При помощи известных соотношений между изображением функции и её оригиналом находиться решение для оригинала функции, т.е. оригинал искомой функции.

Таким образом, в начале применяется прямое преобразование, а затем обратное. Преимущество этого метода состоит в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала функции, а алгебраическое уравнение для изображения.

Лекция 7.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: