Моделирование распределенного объекта управления на основе спектрального метода анализа

Цель работы: освоить методику вычислительных процедур по определению операционных матриц и спектральных характеристик для решения задач анализа распределенного объекта управления на основе спектрального метода решения.

Исследования и освоение методики проводятся на ЦВМ серии IBM с помощью специально созданной программы «Spectrum-BO».

Программа «Spectrum-BO» предназначена для вычисления матриц, необходимых для перехода от уравнения в частных производных для колебаний упругой прямой балки к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши на основании спектрального метода, что намного упрощает процесс его решения. Программа «Spectrum-BO» позволяет осуществить:

· нахождение комплекса матриц, позволяющих перейти от уравнения в частных производных гиперболического вида к динамической системе в форме Коши;

· возможность произвольного задания распределений массы, изгибной жесткости и коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту в относительных единицах, причем первые два распределения задаются ступенчатыми, а третье может быть задано как в виде ступенчатой, так и в виде непрерывной (из числа предусмотренных в программе функций);

· задание количества точек разбиения пользователем и размеров интервалов в относительных единицах;

· графическое построение любой из задаваемых функций распределения;

· выбор метода расчета (без использования дополнений, с использованием нечетно-симметричных дополнений, с использованием четно-симметричных дополнений);

· определение необходимой размерности системы в форме Коши через сравнение функционала, вычисленного при разных порядках усечения;

· сохранение результатов выполнения в файле.

 

1. Краткие теоретические сведения

В настоящей программе спектральный метод применяется для нахождения матриц, необходимых для приведения уравнения поперечных колебаний упругой прямой балки к системе дифференциальных уравнений в форме Коши.

Для решения данной задачи применяется ряд свойств спектральных характеристик: спектральная характеристика от произведения функции на производную четвертого порядка; спектральная характеристика от произведения производной на функцию; спектральная характеристика от произведения второй производной на функцию; спектральная характеристика от произведения производной одной функции на производную третьего порядка другой функции; спектральная характеристика от произведения второй производной одной функции на вторую производную другой функции.

Эти свойства дают возможность перейти от уравнений в частных производных вида

(1)

к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши:

решение которой находится в виде
	(2)
где .	(3)

- матрица спектральных характеристик начальных условий размером (2nx1).

;	(4)
;	(5)
где ,	(6)
,	(7)
,	(8)
.	(9)

Fm, FEJ, Fh - матрицы первого сомножителя спектральных характеристик функций m(х), EJ(x), h(х) размером n´ n; , - операционные матрицы умножения функции EJ(x) размером n´ n, соответствующие ; FF - матрица спектральной характеристики внешнего возмущения размером n´ 1; , - матрицы спектральных характеристик граничных условий размером n´ 1, содержащие значения производных и функции y(x, t) на границах ; , (i=1, k) - матрицы, содержащие скачки функции EJ(x) на интервале xÎ [a, b] при вычислении .

Связь выходной переменной y(x, t) со спектральной характеристикой осуществляется на основании выражения:

,

(10)

где PT - вектор, составленный из базисных функций P(h, x) размером 1´ n.

Программа «Spectrum-BO» дает возможность определить размерность будущей системы из условий точности воспроизведения функции с помощью рядов Фурье и найти матрицы, необходимые для перехода от уравнения упругих колебаний к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши. За меру точности приближения функции с помощью ряда Фурье примем величину функционала [1]:

(11)

где f(x, t) – функция, которая аппроксимируется с помощью ряда Фурье; Pk(x) – функции ортогональной системы, по которым осуществляется разложение в ряд Фурье; аk – коэффициенты ряда Фурье.

Оценкой точности приближения является относительная среднеквадратическая ошибка:

.

(12)

 

2. Установка и запуск программы

 

Для корректного функционирования программы необходима персональная вычислительная машина не ниже Р2-233 с объемом ОЗУ не менее 32 Мб, графическим адаптером VGA или SVGA, манипулятором типа «мышь» и операционной системой WINDOWS, а также с установленной системой «MatLAB» не ниже версии 6.

Программа Spectrum-BO может работать как с гибкого, так и жесткого диска. Для установки программы необходимо проделать следующие операции.

1. Установить курсор на «Мой компьютер» и дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши».

2. Открывается окно. Выбрать Disk X на «tki» (X: ) и дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши».

3. Появился список папок. Установить курсор на «Koval» и дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши».

4. Нажимаем кнопку «Ctrl», держим, не отпуская, и в это время левой кнопкой «мыши» один раз отмечаем папку «Ракета 1» и «Spectrum-BO». Отпускаем «Ctrl».

5. Установить курсор на «Ракета 1» и один раз щелкнуть правой кнопкой «мыши». Появляется меню.

6. Установить курсор на «Копировать». Обе программы скопировались в буфер. Щелкнуть один раз левой кнопкой «мыши».

Примечание. В дальнейшем при отсутствии в описании по установке и запуску программы указания на работу с «мышью» необходимо щелкнуть один раз левой кнопкой «мыши» при выполнении операций выбора, открытия, закрытия и т.д.

7. Закрыть это окно. Установить курсор на крестик справа вверху.

8. Установить курсор на «Мой компьютер». Дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши».

9. Выбрать диск (Z: ), установить курсор. Дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши».

10. Установить курсор на пустое место в этом окне и «щелкнуть» правой кнопкой «мыши» один раз. Выпадает меню.

11. Установить курсор на «Вставить».

12. Закрыть окно. Установить курсор на крестик справа вверху.

Для запуска программы необходимо проделать следующие операции.

1. Установить курсор на «Пуск».

2. В открывшемся окне установить курсор на «Программа».

3. Справа открывается меню. Установить курсор на «MatLAB 6.5».

4. Справа есть еще меню. Установить курсор на «MatLAB 6.5» со значком.

5. Проходит загрузка MatLAB.

6. Открылось окно из 2 половинок. Сверху по центру есть строка: «Current Directory: » и в ней написано: «C: \MatLab6p5\Work». Справа над этой надписью есть знак ▼, а правее – кнопка с тремя точками. Установить на нее курсор.

7. Открылось окно «Обзор папок». Справа есть область прокрутки. Установить курсор на нижнюю кнопку [▼ ] и прокрутить список папок до конца.

8. Находим в списке (Z: ). Слева от него кнопка [+].Установить на нее курсор.

9. Открылся перечень папок. Установить курсор на папку «Spectrum-BO».

10. Установить курсор слева внизу на кнопку «ОК».

11. Установить курсор вверху слева желтый значок (папка), появится надпись «Open file».

12. Открылось окно «Open», в нем 2 папки и 2 файла. Внизу строка: «Тип файлов» и написано «All MatLAB Files», а справа от этой строки знак ▼. Установить на него курсор.

13. Выпало меню. Установить курсор на вторую строку «M-files(*.m)».

14. В появившемся окне 2 папки и 1 файл. Установить курсор на файл «Spectrum-BO».

15. Установить курсор на кнопку «Открыть».

16. Открылся текст программы. Нажимаем на кнопку F5. Открывается окно программы (рис. 1).

Для запуска программы с гибкого диска необходимо проделать все вышеперечисленное за исключением копирования папки Spectrum-BO на жесткий диск.

После компилирования программы «Spectrum-BO.m» появится основное окно программы (рис. 1) под названием «Расчет матриц». Для начала работы с программой необходимо загрузить задачу или настроить параметры новой задачи.

 

3. Загрузка ранее сохраненной задачи

 

Программа Spectrum-BO позволяет загрузить введенную ранее и сохраненную в файле с расширением *.mat задачу. Загрузка осуществляется нажатием левой кнопкой «мыши» по пункту в панели меню под названием «Файл», после чего открывается выпадающее меню с пунктами «Загрузить объект», «Сохранить объект», «Сохранить как…», «Выход». Нажатием левой кнопкой «мыши» по пункту «Загрузить объект» открывается окно, в котором можно выбрать нужный для загрузки файл. При выборе файла и нажатии на кнопку «Открыть» производится загрузка файла с ранее сохраненной задачей. Все загруженные данные отобразятся в основном окне программы не сразу. Сначала будет полностью открыт столбец ячеек ввода под надписью «Выберите кол-во интервалов», в котором уже будут введены значения, загруженные из файла. Если смотреть на них сверху вниз, то необходимо нажать левой кнопкой «мыши» на радиокнопку перед той, напротив которой в ячейке самой первой появилась единица. Таким образом, в основном окне появятся значения распределения массы и изгибной жесткости под надписью «Амплитуда скачка функции на соответствующем интервале». Если в загружаемом файле были сохранены значения ступенчатого распределения коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту, то просмотреть их можно, нажав на радиокнопку под названием «Задать h(x) ступенчатой». После этого под надписью «Амплитуда скачка функции на соответствующем интервале» возникнет еще один столбец ячеек ввода, в котором будет отображено распределение коэффициента h(x).

 

4. Ввод параметров новой задачи

 

Новая задача вводится в следующей последовательности.

1) Установить курсор на радиокнопки, пронумерованные от 1 до 10 и находящиеся под надписью «Выберите кол-во интервалов», тем самым установить число интервалов разбиения для ступенчатых функций распределения массы, изгибной жесткости и коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту.

2) в столбце ячеек ввода под надписью «Начало инт-ов» следует ввести начало соответствующих интервалов путем поочередной установки курсора на отдельные ячейки и ввода конкретных значений в относительных единицах; необходимо заметить, что вводить начало первого интервала не требуется, так как это нуль.

3) под надписью «Амплитуда скачка функции на соответствующем интервале» в двух столбцах ячеек следует ввести распределения массы и жесткости в относительных единицах, причем надо учитывать, что вводимые значения массы и жесткости будут заданы на том интервале, напротив начала которого они находятся в основном окне программы.

4) определить вид распределения коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту путем установки курсора на одну из двух радиокнопок под названиями «Задать h(x) непрерывной» и «Задать h(x) ступенчатой», причем по умолчанию включена первая радиокнопка.

5.1) если выбранной оказалась первая из них, то справа напротив нее появится выпадающий список, из которого можно произвести выбор непрерывной функции (h(x)=0.5(x+1), h(x)=sin(π ·x), h(x)=-0.5x2+0.5, h(x)=x2), по которой будет задаваться распределение коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту.

5.2) если выбранной оказалась вторая из них, то под надписью «Амплитуда скачка функции на соответствующем интервале» возникнет еще один столбец ячеек ввода, в который нужно ввести распределение коэффициента h(x) таким же образом, как вводились распределения массы и жесткости.

После ввода параметров можно произвести наглядное построение введенных распределений массы, изгибной жесткости и коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту, а также корректировку ступенчатых функций распределения при неверном задании.

Для графического отображения заданных распределений следует:

1) выбрать, какую функцию нужно построить, путем установки курсора на радиокнопку с соответствующим названием из находящихся в рамочке под надписью «Что строить? »;

2) навести курсор на кнопку «Построить», находящуюся в той же рамочке. После ввода параметров и построения функции распределения массы основное окно программы выглядит, как показано на рис. 2.

 

 

В данном случае количество интервалов было выбрано равным четырем: начало первого – 0, начало второго – 0.4, начало третьего – 0.55, начало четвертого – 0.7. Распределение коэффициента внутреннего сопротивления по Фойгхту было выбрано как ступенчатая функция. Значения массы, жесткости и h(x) были следующими соответственно: на первом интервале – 0.2, 0.3, 0.4; на втором – 0.4, 0.7, 0.6; на третьем – 1, 1, 0.7; на четвертом – 0.3, 0.5, 1.

 

Аналогично можно построить и любую из заданных функций, только следует указать, какую именно в окне «Что строить».

 

 

5. Сохранение задачи

 

После ввода новой задачи или загрузки старой можно сохранить её в файле. Сохранение становится возможным, когда в выпадающем меню из пункта панели меню «Файл» станут активными пункты «Сохранить объект» или «Сохранить как …». Упомянутые пункты станут активными после построения любой из заданных ступенчатых функций распределения и расчетов. Для сохранения настроенной задачи необходимо выбрать в панели меню пункт «Файл», навести на него курсор. В возникшем выпадающем меню аналогичным образом выбрать пункт «Сохранить объект» или «Сохранить как …». В первом случае данные сохранятся в файле под именем «Untitled». Во втором придется ввести имя, под которым будет сохранен файл. Имя файла нужно вводить латинскими буквами, так как только в этом случае система MatLAB будет корректно работать с данным файлом. После сохранения можно продолжать работу с программой.

 

6. Вычисления

 

Вычисления в данной программе проходят в два этапа. На первом этапе происходит вычисление вектора спектральной характеристики выбранной функции, восстановление последней при заданном количестве гармоник и анализ вычисленного функционала, причем если функционал не удовлетворяет нашим требованиям, то количество гармоник для восстановления функции изменяется, и просчет осуществляется заново. На втором этапе задается возмущение и вычисляются необходимые матрицы.

Для того чтобы осуществить первый этап вычислений, нужно выполнить следующие действия:

1) установить курсор на пункт панели меню под названием «Метод расчета»;

2) в появившемся выпадающем меню, установить курсор на интересующий метод («Без дополнений», «Нечетно-симметрические дополнения», «Четно-симметрические дополнения»);

3) после этого появится возможность ввести количество гармоник внизу основного окна под надписью «Введите количество гармоник», причем в ячейке ввода уже будет стоять значение «5», но можно ввести и другое значение путем установки курсора на ячейку и изменения стоящего там на нужное;

4) установить курсор на кнопку «Расчеты» и подождать некоторое время.

В результате основное окно программы примет вид, показанный на рис. 3.

Здесь поверх выбранной функции распределения одного из параметров построена восстановленная функция. Следует отметить, что если расчеты производились без использования дополнений, то восстановленная функция будет прорисовываться синим цветом, если были использованы нечетно-симметрические дополнения – зеленым, если четно-симметрические – красным.

 

 

По данному изображению можно судить о мере близости исходной и восстановленной функций. Для более точной оценки вычисляется функционал, среднеквадратическая ошибка и относительная среднеквадратическая ошибка. Если вычисленные показатели не соответствуют требованиям, то количество гармоник изменяется вышеуказанным способом и вычисления повторяются. Такая же процедура применяется и к оставшимся функциям распределения, то есть каждая из них графически отображается и для нее строится восстановленная функция, а также анализируются функционал и ошибки.

В данном случае был взят пример, упомянутый на стр. 12. Метод расчета был выбран «Без дополнений», количество гармоник – «10». При этом получилось что функционал равен 0.0079644, среднеквадратическая ошибка – 0.0892435, относительная среднеквадратическая ошибка – 0.191578.

Для того чтобы произвести второй этап вычислений, нужно выполнить следующие действия:

1) установить внешнее возмущение, формула которого представлена в виде F(x, t)=e(-0.5t)d(x-x1) и надо только задать значение х1 таким же образом, как задавалось количество гармоник, причем х1 измеряется в относительных единицах и должно задаваться в интервале [0, 1];

2) левой кнопкой «мыши» нажать на кнопку «Вычислить матрицы и сохранить в файл» и подождать некоторое время.

После окончания вычислений все рассчитанные матрицы и количество гармоник будут сохранены в папке «data» в файле «spec.mat». Далее этот файл можно использовать для завершения анализа системы при работе программы Spectrum-ВK. Также полученные после окончания работы программы матрицы можно просмотреть в окне команд системы «MatLAB». Указанный файл сохранить в личной области.

 

7. Просмотр графиков

 

Если в процессе выполнения программы или после ее выполнения появилась необходимость проанализировать построенные графики более точно, то можно воспользоваться предусмотренной возможностью просмотра графического изображения отдельно (рис. 4).

 

Сделать это можно в перерывах между расчетами или по их окончанию. Для этого надо навести курсор на кнопку «Отдельно изображение», и область вывода графического изображения выносится в отдельное окно. В отдельное окно выносятся только построенная ступенчатая функция распределения и последняя построенная восстановленная функция. Когда в отдельном окне уже не будет надобности, его можно закрыть. На рис.4 показано изображение функции распределения массы и восстановленной функции с рис. 3 в отдельном окне. При необходимости отдельное окно изображения можно увеличить на весь экран.

 

8. Работа с помощью

 

В программе Spectrum-BO предусмотрена система интерактивной помощи. Предназначена она для облегчения работы с программой и пояснения теории, по которой была разработана данная программа.

 

Для того чтобы к ней обратиться, нужно навести курсор на пункт панели меню «Помощь», появится окно «Help» (рис. 5).

Нужно выбрать одну из следующих ссылок: «О программе», «Как пользоваться», «Об авторе». После того, как помощь перестанет быть нужной, ее можно просто закрыть и продолжать работать с программой.

 

9. Завершение работы

 

Для окончания работы с программой достаточно просто закрыть основное окно программы или нажать левой кнопкой мыши на пункт панели меню «Файл» и в появившемся выпадающем меню таким же образом нажать на пункт «Выход».

 

 

10. Порядок выполнения работы

1. В соответствии с вариантом задания выбрать в табл. 1, 2 начало интервалов, массу, жесткость конструкции, коэффициент демпфирования по Фойгхту.

2. С помощью программного модуля построить кривую аппроксимаций распределения массы, жесткости и коэффициента демпфирования по Фойгхту.

3. Рассчитать функционал погрешности воспроизведения функции Jn и относительную погрешность d при количестве гармоник, равным 3, 5, 7, 10 для массы, жесткости и коэффициента демпфирования по Фойгхту.

4. Рассчитать функционал погрешности воспроизведения функции Jn и относительную среднеквадратическую погрешность в зависимости от выбора интервала разложения х[0, 1], xÎ [-1, 1].

 

11. Содержание отчета

1. Результаты эксперимента представить в виде графиков.

2. Оценить влияние количества гармоник на точность представления функций с помощью ряда Фурье.

3. Дать оценку сходимости полученных результатов.

Таблица 1

Вариант	Начало 1-го интервала	Начало 2-го интервала	Начало 3-го интервала	Коэффициент демпфирования по Фойгхту h(x)
		0, 1	0, 6	sin px
		0, 2	0, 7	0, 5(x+1)
		0, 3	0, 8	2x
		0, 4	0, 9	x2
		0, 5	0, 7	sin px

 

Таблица 2

Вариант	№ интервала	Масса m(x)	Жесткость EJ(x)
	0, 8	0, 7
	0, 6	0, 6
		0, 8	0, 8
	0, 6	0, 4
	0, 4	0, 6
		0, 7	0, 9
	0, 3	0, 7
	0, 7	0, 8
		0, 8
	0, 6	0, 5
	0, 2	0, 5
		0, 2	0, 5
	0, 7	0, 7
		0, 9

 

12. Литература

1. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем / В.А. Коваль. – Саратов: СГТУ, 1997.

2.Толстов Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов. – М., Наука, 1980

 

Лабораторная работа № 3

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: