Основные показатели надёжности

Издательство СПбГТУ

 

 

УДК 621.311.019

 

В о р о н и н А.А., М о р о з о в Б.И. Надежность информационных систем: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001, 89 с.

 

 

Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины ОПД.Ф.08 " Надежность информационных систем" подготовки дипломированного специалиста по направлению 654700-Информационные системы.

В учебном пособие даны основные понятия теории надежности. Приводятся традиционные методы анализа и расчета надежности технических систем. Рассматриваются вопросы исследования надежности с помощью логико-вероятностных методов, использующих аппарат алгебры логики и теории вероятностей. Приводятся сведения по граничной оценке показателей надежности. Дается анализ надежности систем при нечетком оценивании показателей надежности ее элементов.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения курса и содержит необходимый для упражнений теоретический материал, полное изложение которого можно найти в изданиях, приведенных в списке литературы.

 

 

Табл. 5. Ил. 20. Библиограф.: 9 назв.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Санкт-Петербургского государственного технического

университета.

 

 

Санкт-петербургский государственный

технический университет, 2001

Оглавление

Глава 1. 5

1.1. Основные понятия и определения. 5

1.2. Основные показатели надёжности. 6

1.3. Методы повышения надежности. 8

1.4. Резервирование как способ повышения надежности. 9

1.5. Нагруженное резервирование. 10

1.6. Ненагруженное резервирование. 12

1.7. Недогруженное резервирование. 12

1.8. Надежность резервированной системы с автоматом контроля и коммутации. 15

1.9. Резервирование с восстановлением.. 16

1.10. Некоторые результаты для дублирования системы.. 18

1.11. Составлении графа состояний. 20

Глава 2. Расчет показателей надежности информационных систем логико-вероятностными методами 21

2.1. Основы логико-вероятностных методов. 21

2.2. Основные логические операции. 21

2.3. Основные определения и принятые обозначения. 25

2.4. Некоторые теоремы алгебры логики. 28

2.5. Способы описания условий работоспособности системы.. 31

2.6. Структурные схемы надежности. 32

2.7. Монотонные структуры.. 36

2.8. Представление монотонных структур в терминах путей и сечений. 36

2.9. Показатели надежности структурно-сложных систем.. 39

Глава 3. Методы расчета показателей надежности. 40

3.1. Метод расчета показателей надежности с помощью алгоритма разрезания. 40

3.2. Метод расчета показателей надежности с помощью алгоритма ортогонализации. 43

3.3. Рекурентный метод. 46

3.4. Алгоритм наращивания путей. 47

3.5. Схемно-логический метод. 47

Глава 4. Определение функции надежности по дереву отказов. 48

4.1. Деревья отказов. 48

4.2. Последовательность операций при построении деревьев отказов. 50

4.3. Алгоритм нахождения минимальных сечений в дереве отказов. 54

4.4. Определение функции надежности по дереву отказов. 56

Глава 5. Граничные оценки показателей надежности. 59

5.1. Определение границ показателей надежности. 59

5.2. Расчет средней наработки системы на отказ и среднего времени ее восстановления. 66

Глава 6. Оценивание надежности систем при отсутствии статистических данных об отказах элементов 67

6.1. Вводные замечания. 67

6.2. Анализ надежности системы при нечетком оценивании надежности ее элементов. 68

6.3. Сравнение результатов нечеткого оценивания надежности с требованиями. 77

6.4. Преобразование нечеткой оценки надежности к четкому виду. 80

Глава 7. Анализ критичности отказов элементов структурно-сложных систем.. 82

7.1. Определение критичности. 82

7.2. Структурная важность элементов. 83

7.3. Важность элементов в смысле надежности. 84

Литература. 88

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Проблема надежности является очень важной для современных технических систем. Можно привести примеры многих систем, для которых решение проблемы надежности в самом прямом смысле означает, быть или не быть данной системе. К ним можно отнести и различные информационные системы, включающие в свой состав большое число компьютеров, имеющих сетевую структуру, территориально распределенные информационные системы, информационные системы измерения параметров различных объектов, системы мониторинга и т.п.

Информационные системы могут иметь простую и сложную структуру. Их усложнение идет сегодня в различных направлениях. С одной стороны, в состав систем входит все большее число комплектующих элементов. С другой стороны, усложняется их структура, определяющая соединение отдельных элементов и их взаимодействие в процессе функционирования и поддержания работоспособности. При этом усложнение систем является прямым следствием постоянно возрастающей ответственности выполняемых ими функций, сложности и многообразия этих функций.

При прочих равных условиях система, состоящая из большого числа комплектующих элементов и имеющая более сложную структуру и сложный алгоритм функционирования, является менее надежной по сравнению с более простой системой. Все это требует разработки специальных методов обеспечения надежности таких систем, включая разработку математических методов расчета надежности и экспериментальной оценки.

Учебное пособие состоит из двух частей.

Первая часть представляет собой изложение традиционных основ расчета надежности систем.

Вторая часть посвящена логико-вероятностным методам исследования надежности и анализу надежности систем при нечетком оценивании надежности ее элементов.

Глава 1.

 

1.1. Основные понятия и определения

 

Прежде чем начать изложение теоретических основ надежности, введем основные термины и определения, принятые в современной инженерной практике.

Под надёжностью технической системы понимают свойство системы сохранять работоспособность в заданных условиях функционирования. Говоря о работоспособности, следует сразу же определить критерий отказа системы. Отказ - это событие, после возникновения которого система утрачивает способность выполнять заданное назначение. Эти два понятия в определенном смысле выражаются одно через другое: отказ - это потеря работоспособности. Однако для той или иной информационной системы конкретное определение отказа зависит от многих факторов: назначения системы, выполняемой задачи, требований к выполнению данной конкретной функции и др.

Надежность - это сложное свойство, включающее в свой состав несколько единичных свойств: безотказность, готовность, сохраняемость, ремонтопригодность, а также безопасность и живучесть.

Под безопасностью понимается способность системы функционировать, не переходя в опасное состояние. Для информационных систем это свойство не является существенным по сравнению, например, с системами атомной энергетики.

Под живучестью технической системы понимают ее способность противостоять внешним воздействиям как естественного характера не предусмотренных условиями нормальной эксплуатации, так и преднамеренным.

Отличительным признаком надежности как свойства технической системы является то, что она характеризуется вероятностными процессами, протекающими во времени.

При изучении теории надёжности широко используются такие понятия как система, объект, элемент. Элемент - это такой объект, отдельные части которого не представляют существенного интереса в пределах проводимого анализа. Под термином " система" будем понимать множество (совокупность) действующих объектов, взаимосвязанных между собой функционально и рассматриваемых как единое структурное целое. Понятия " элемент", «объект» и " система" достаточно относительны. Подразделение системы на элементы зависит от требуемой точности проводимого анализа, от уровня наших представлений о системе и т.п. Более того, объект, считавшийся системой в одном исследовании, может рассматриваться как элемент, если изучается система большего масштаба. Например, в информационной сетевой системе элементом может считаться компьютер, терминал, канал связи и др.. В тоже время, рассматривая функционирование компьютера, можно выделить процессор, входные и выходные устройства, различные интерфейсы и т.д.

В теории надежности весьма важную роль играет деление элементов и систем на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Содержательный смысл этих понятий очевиден.

Информационные системы бывают простыми и сложными.

Простыми системами будем считать такие, в которых чётко определён признак отказа, т.е. можно указать элемент, отказ которого приводит к отказу системы.

Основные признаки классификации отказов изделий приведены в таблице 1.

 

Таблица 1

Признак классификации	Вид отказа
Характер изменений параметра до момента отказа	внезапный постепенный (параметрический) перемежающийся (сбои)
Степень потери полезных свойств	полный частичный
Восстанавливаемость полезных свойств	необратимый обратимый
Связь с другими отказами	независимый зависимый
Наличие внешних признаков	явный неявный
Причина возникновения	конструктивный технологический эксплуатационный
Период появления	период приработки при работе нормальная эксплуатация период старения при хранении при испытаниях
Цена отказа	простой техники ( ущерб от ремонта) невыполнение задачи (ущерб от этого) моральный ущерб

 

Методы повышения надежности

Эффективность информационной системы в значительной степени зависит от уровня ее надежности, в первую очередь от уровня ее безотказности. Опыт эксплуатации показывает, что уровень надежности систем не всегда отвечает современным требованиям, поэтому весьма актуальна проблема разработки методов, позволяющих обеспечить требуемые уровни характеристик надежности системы. Надежность системы можно повысить, используя различные методы. При этом каждый раз надо выбирать пригодный метод с учетом стоимости, весовых, габаритных и других характеристик системы.

Методы повышения надежности можно классифицировать по области их использования.

 

Методы

 

 

Конструктивные		Производственные		Эксплуатационные
- Cоздание надежных элементов; - Создание благоприятного режима работы; - Методы рационального проектирования систем; - Методы введения избыточности: Нагрузочная, Параметрическая, Функциональная, Резервирование структуры. - Методы, защищающие элементы от разрушающих факторов	- Совершенствование технологии; - Автоматизация производства; - Тренировка элементов и модулей системы.	- Методы предупреждения отказов, основанные на прогнозировании моментов их появления; - Методы предупреждения отказов, основанные на статистических данных о долговечности элементов; - Повышение квалификации обслуживающего персонала; - Научные методы эксплуатации.

 

Нагруженное резервирование

Пусть система состоит из n основных элементов и m резервных элементов. Плотность вероятности безотказной работы f(t). Условия работы элементов не зависимы, а автомат контроля и коммутации элементов (АКК) - абсолютно надежный.

 

; (12)

 

Для решения задачи используем метод гипотез [1]. Предположим, что все элементы исправны. Так как работа элементов не зависима, вероятность этой гипотезы:

 

(13)

 

Пусть отказал один конкретный (s-й) элемент, тогда вероятность этой гипотезы:

 

(14)

 

Вероятность отказа любого одного из m + n элементов:

 

(15)

 

Пусть отказали любые два элемента (сначала s-й, потом k-й). Тогда вероятность этой гипотезы:

 

(16)

 

Далее аналогично

 

(17)

 

Все рассмотренные выше гипотезы благоприятствуют работоспособному состоянию системы. Поэтому вероятность безотказной работы системы равна сумме вероятностей этих гипотез.

 

или (18)

 

(19)

 

 

Так как все элементы равнонадежны, то

 

Если закон распределения экспоненциальный, т.е. , то , . Тогда

(20)

При n=1

 

, где k=m+1/ (21)

Тогда , (22)

, (23)

при

 

Таким образом у резервированной системы интенсивность отказа является функцией времени наработки, даже для экспоненциального закона распределения времени наработки для элементов.

При t=0, =0; при

 

Решая (39), получим

 

, (40)

 

где (41)

Окончательно

, (42)

 

где (43)

Например, m=1, a/b=1

B₀(1)=1+n; B₁(1)=n

 

(44)

 

(45)

 

 

(46)

 

 

Из анализа выражения (46) следует, что распределение времени безотказной работы резервированной системы отлично от экспоненциального распределения, даже, если все ее элементы имеют такое распределение.

 

Можно показать, что

 

(47)

 

(48)

 

Составлении графа состояний

 

Составление графа состояний является наиболее трудным этапом расчета надежности системы методом дифференциальных уравнений. Самые сложные графы состояний характерны для восстанавливаемых резервируемых систем. Чтобы для восстанавливаемой системы учесть все возможные состояния, целесообразно сначала построить граф состояний соответствующей невосстанавливаемой системы и за тем заполнять его обратными переходами.

Наибольшее влияние на структуру графа состояний оказывают условия восстановления отказавших элементов. Перед составлением графа состояний необходимо выяснить, при каких условиях начинается и заканчивается восстановление отказавших элементов, каков режим восстановления.

При наличии резерва восстановление отказавших элементов может начинаться и производиться при работоспособной системе. При этом, на графе состояний возможны обратные переходы как из работоспособных, так и из неработоспособных состояний системы.

Структура графа состояний во многом зависит от эксплуатационного обеспечения элементов системы. Очень часто при отказе системы работоспособные элементы выключаются. В этом случае на графе состояний нет переходов из одних неработоспособных состояний в другие. Однако возможны системы, в которых каждый элемент функционирует не зависимо от других и имеет свое эксплуатационное обеспечение, при отказе системы работоспособные элементы в этом случае не отключаются и могут отказывать и восстанавливаться. На графе состояний системы в таких случаях имеют прямые и обратные переходы между неработающими состояниями.

 

Монотонные структуры

Рассмотрим систему со следующими свойствами:

1) каждый элемент системы может находиться только в одном из двух состояний - работоспособном или неработоспособном;

2) сама система, в свою очередь, также может находиться только в одном из двух возможных указанных выше состояний;

3) если все элементы работоспособны, то система тоже работоспособна;

4) если все элементы отказали, то система тоже отказала;

5) отказ элемента в отказавшей системе не может восстановить ее работоспособность, и замена отказавшего элемента в работоспособной системе на исправный не может привести к отказу системы.

Для систем, удовлетворяющим условиям 3, 4 и 5 функция работоспособности системы

является монотонной, а сами системы называются системами с монотонной структурой. Заметим, что любая ФАЛ, записанная через конъюнкцию и дизъюнкцию (без отрицания) задает некоторую монотонную функцию [4].

Свойство монотонных булевых структурных функций означает следующее. Если система работоспособна при отказе подмножества своих элементов, то она работоспособна также, если отказало подмножество элементов. Причем . При работоспособности всех элементов система работоспособна, а при отказе всех элементов система всегда отказывает.

Свойство монотонности математически можно записать [3 ]:

1) если

2)

3)

В заключение сформулируем ряд определений.

Последовательные и параллельные ССН являются частным случаем последовательно-параллельных схем. Последние подразделяются на простые и сложные.

Определение. Простой структурной схемой надежности называется схема, в которой все логические элементы используются не более одного раза.

Все последовательные и все параллельные ССН являются простыми.

Определение. Сложной структурной схемой надежности называется схема, в которой хотя бы один логический элемент используется более одного раза и никакими упрощающими приемами ее нельзя свести к простой.

Структура " k из N" и мостиковая сводятся к эквивалентным сложным последовательно-параллельным ССН. Метод преобразования к эквивалентным схемам изложен в следующем подразделе.

 

Рекурентный метод

 

Этот метод предложен И.А. Рябининым и основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий, в качестве которых здесь непосредственно выступают элементарные конъюнкций условий работоспособности системы, записанных в ДНФ с помощью кратчайших путей успешного функционирования [ 3 ].

 

или минимальных сечений

 

Согласно этой теореме и приведенным выражениям, вероятность безотказной работы системы (или вероятность ее отказа) можно вычислить по формулам:

 

 

Аналогичное можно написать выражение для P(y) и по минимальным сечениям.

Несмотря на кажущуюся громоздкость формул расчеты надежности с помощью такого метода называются достаточно простыми. Для этого предполагается производить расчеты в табличной форме, чем и объясняется название данного метода расчета.

 

Алгоритм наращивания путей

 

Поиск наиболее рациональных методов преобразования ФАЛ в ВФ привел к созданию еще одного метода, у истоков которого стояли Л.Г.Акулова и авторы работ [ 3 ].

Этот алгоритм позволяет в ряде случаев упростить вычисление вероятностных функций ортогональных ФАЛ в рассмотренном ранее методе ортогонализации за счет частичного замещения [3 ].

 

Схемно-логический метод

 

Предложен Смирновым А.С. и впервые опубликован в 1971 г. [3 ].

Этот метод основан на том, что за счет применения релейно-контактной схемы (РКС) разложение повторной ФАЛ производится не по одному аргументу (как это делается в алгоритме разрезания), а сразу по повторяющейся комбинации аргументов, что при числе аргументов (N> 20) дает существенный выигрыш.

Для практического применения в случае ССН большой размерности наиболее удобными можно считать алгоритмы ортогонализации, рекуррентный, наращивания путей. В случае небольшой размерности (N< 20) - схемно-логический метод и метод разрезания.

Более подробное изложение рекуррентного метода, наращивания путей и счетно-логического метода можно найти в книге И.А.Рябинина [3 ].

В заключение следует отметить следующее.

Модели и методы расчета надежности на базе булевых функций получили широкое распространение в практике изучения надежности, Однако, необходимо сделать некоторые замечания о границах применимости и недостатках таких моделей надежности.

1. В рамках теории булевых функций каждый элемент может иметь только два уровня ( 1 или 0). Но отказ одного и того же элемента в зависимости от его типа может иметь совершенно различные воздействия на систему (например, отказ типа " обрыв" и отказ типа " короткое замыкание" ).

1. При построении булевых моделей считается, что мгновенные состояния элементов

однозначно задают состояние системы в тот же момент времени. Это подразумевает, что временная последовательность отказов элементов не имеет значение.

Бинарность состояний элементов и системы часто бывает очень грубым приближением. Границы применимости булевых моделей в теории надежности и их недостатки следует искать исключительно в принципах построения этих моделей, поэтому и преодоление этих недостатков возможно при построении этих моделей. Эти вопросы выходят за рамки данного пособия. Более подробное изложение этих вопросов желающие могут найти в [3 ].

 

 

Деревья отказов

 

Выше были рассмотрены индуктивные методы расчета надежности. Сущность этих методов сводилась к тому, что при составлении математической модели системы вначале устанавливаются виды отказов элементов, затем определяют влияние отказа каждого элемента на работоспособность системы. Рассматривая сочетания возможных состояний элементов можно найти все неработоспособные состояния системы и определить вероятности появления этих состояний.

Однако, для сложных систем с большим числом элементов и связей между ними составление структурной схемы является довольно сложной задачей. При этом неизбежны методические ошибки, поскольку порой практически невозможно перебрать все возможные комбинации отказов элементов, приводящие к отказу системы.

Существенно более эффективным, а в ряде случаев единственным средством анализа логических связей в системе является дедуктивнывй метод. При этом методе создание математической модели начинают с одного или нескольких наиболее опасных неработоспособных состояний системы. Перевод в каждое из этих состояний считается завершенным, которое возникает в результате определенного сочетания первичных событий - отказов элементов.

Условия, при которых возникают завершающие события, сводят в логическую схему, которую изображают в виде ориентированного графа с ветвящейся структурой - дерева отказов.

Деревом отказов называют логическое дерево, в котором «дуги» представляют собой события отказа на уровне системы, подсистемы или элементов, а вершины - логические операции, связывающие исходные и результирующие события отказов. Дерево отказов начинается с единственного наибольшей важности события, которое называется вершинным событием (например, отказ системы), на следующем уровне располагаются события, называемые промежуточными, появление которых может привести к появлению вершинного события (согласно логической операции, которая связывает эти уровни); аналогичным образом дерево продолжается на последующих уровнях. Наиболее употребительными логическими операциями являются " И" и " ИЛИ".

При построении деревьев отказов используются символы, отличающиеся от применяемых в ССН. Состояния элементов (основные события) представляются окружностями. Вершинное, промежуточные события и логических операций изображаются прямоугольниками.

выход выход выход выход

 

 

входы входы вход вход

 

Операция " И" Операция " ИЛИ" Вершинное или Состояние

промежуточное элемента

событие

 

Рис. 4.1. Символы логических узлов, вершинных и основных событий в дереве отказов

Выходное событие узла " И" появляется тогда и только тогда, когда имеются все входные события. Выходное событие узла " ИЛИ" появляется тогда, когда на входе имеется хотя бы одно входное событие. В дальнейшем будем рассматривать деревья событий, содержащие только два типа логических узлов: " И" и " ИЛИ".

На рис. 4.2. представлены деревья отказов сети связи из примера главы 2 (три канала в сети передачи информации). Сравните их с соответствующими ССН, изображенными на рис. 2.2.

 

 

 

в) г)

 

Рис. 4.2. Примеры деревьев отказов информационной сети связи

а) последовательная структура, б) параллельная структура, г) структура «два из трех», в) последовательно-параллельная структура

 

Процедура построения дерева отказов во многом субъективна, она зависит от глубины знаний исследователя процессов функционирования системы и причинно-следственных связей возникновения отказов ее элементов. Два дерева отказов сложной многокомпонентной системы, построенные разными исследователями, но при одинаковых допущениях, внешне будут, скорее всего, отличаться друг от друга, однако приведут к одному и тому же конечному результату, если при этом не допускались методические ошибки.

Вводные замечания

 

В рамках изложенных выше методов анализа надежности структурно-сложных систем предполагались известными точные значения показателей надежности элементов системы. Для многих систем, однако, часто затруднительно оценить вероятность отказов некоторых элементов по прошлой информации. Причиной этого может являться неопределенность будущих условий эксплуатации. Кроме того, часто необходимо учитывать возможные отказы таких элементов системы, которые ранее не отказывали вообще.

В этом случае вместо вероятности отказа может быть использовано понятие возможности отказа в виде нечеткого множества (НМ) [4], определенного в вероятностном пространстве. В рамках данной концепции могут быть одновременно рассмотрены вероятность и возможность как различные аспекты неопределенности, при этом задаются значения степени неопределенности для каждого значения вероятности отказа. Например, если существует информация о том, что " значение вероятности отказа лежит в пределах между 0.01 и 0.1 и, возможно, вблизи 0.07", то эта информация может быть формализована посредством задания нечеткого множества, отражающего возможность отказа. Возможность отказа в предельном случае совпадает с вероятностью отказа и, таким образом, данный подход может быть в некоторых случаях более продуктивным и полезным, чем традиционный метод анализа неопределенности, связанный с исследованием лишь вероятности отказа. В то же время нечеткая форма представления информации о надежности отличается от привычной классической формы описания в виде точечных, либо интервальных статистических оценок ВБР. (В данном подразделе в качестве показателя надежности для определенности будем рассматривать ВБР.) В связи с этим возникает вопрос о путях использования результатов нечеткого оценивания показателей надежности элементов сложных систем.

Здесь можно.выделить, по крайней мере, три направления.

1. Результаты нечеткого оценивания ВБР элементов сложной системы могут быть использованы в качестве исходных данных для дальнейших расчетов показателей надежности системы в целом.

2. Если известны требования к безотказности элемента (системы), то по результатам нечеткого оценивания ВБР может быть решена задача о проверке выполнения этих требований.

3. Нечеткая ВБР может быть преобразована к обычному (четкому) виду.

Кратко поясним особенности решения перечисленных задач.

 

Рис. 6.1. Структурная схема надежности

 

 

 

 

Рис. 6.2. Дерево отказов ССН, представленной на рис. 6.1.

 

Структурная функция у(Х), построенная по данному дереву, имеет вид

Будем считать, что элементы функционируют независимо.

Так как элементы на дереве отказов безповторны, то сразу можем получить h(r).

 

 

Если известны вероятности работы элементов за заданное время t, то функция надежности может быть представлена следующим образом

где p_i, i = 1, …, 5, есть значения ВБР элементов рассматриваемой системы. Если ввести обозначение q_i = 1 - p_i для вероятности отказа i-ого элементы, то формула (6.1) преобразуется к виду

и, соответственно, ВБР системы может быть вычислена по формуле

P=(1-q₃) (1-q₁q₂)(1-q₄q₅) (6.3)

 

Если заданы нечеткие ВБР элементов вида

P_i = {< p_i, μ _Pi (p_i)> } (6.5)

то они легко могут быть преобразованы к НМ Q_iпо правилу:

 

Тогда, подставив выражение для Q_i из (6.4.) в формулу (6.3), получим

Для вычисления ВБР системы по формуле (6.7.) необходимо уметь осуществлять операции перемножения нечетких множеств и вычитания их из единицы. Данные операции реализуются с помощью принципа обобщения Л.Заде [8], согласно которому

Q_i Q_j= {< q_ij, μ _{Qi Qj} (q_ij)> }

(6.8)

где q_ij = q_i q_j,

(6.9)

μ _{Qi Qj} (q_ij) = sup [μ _Qi (q_i) ^ μ _Qj (q_j)] (6.10)

1 - Q_i = { < p_i, μ _{i - Qi} (p_i) > }, (6.11)

где p_i = 1 - q_i, (6.12)

μ _{i - Qi} (p_i)= μ _Qi (q_i), (6.13)

 

При произвольном виде функции принадлежности НМ (6.4) вероятность (6.7) можно вычислить лишь приближенно с помощью дискретизации непрерывных НМ [4]. Однако данный способ является достаточно громоздким и дает приближенные результаты. В работе [9] предлагается ограничиться функцией принадлежности трапецеидальной формы, что позволяет получить аналитические выражения для расчета ФП НМ P.

Пусть вероятность отказа i-го элемента сложной системы есть нечеткое множество вида

определяемое функцией принадлежности

График данной ФП изображен на рис. 6.3.

Можно показать (см. [9] ), что произведение нечетких множеств Q_i и Q_j. есть нечеткое множество с функцией принадлежности

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.3. График функции принадлежности нечеткого множества Q_i

 

График ФП μ _{Qi Qj} (q_ij) изображен на рис. 6.4 сплошной линией.

Несмотря на то, что принятое выше допущение (6.14) о виде ФП НМ Q_i позволяет получить выражения для ФП результирующего НМ Q_i Q_i в явном виде, формула (6.16) достаточно сложна для практических расчетов.

 

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: