Представление монотонных структур в терминах путей и сечений

Методика использования путей и сечений - мощный инструмент для анализа сложных структур.

Введем несколько определений.

Определение. Путем V называют множество элементов, работоспособное состояние которых обеспечивает работоспособное состояние системы.

Применительно к ССН путь - это набор элементов, обеспечивающих связь между входом и выходом схемы. В мостиковой структуре на рис. 3 можно найти следующие пути:

{1, 4}, {2, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}, {1, 2, 4), {1, 3, 4}, {1, 5, 4}, {1, 2, 5}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1.2, 3, 4}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}.

Определение. Минимальным путем Т называют путь, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов уже не будет более путем.

Среди множества путей мостиковой структуры минимальными являются: {1, 4}, {2, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}.

Определение. Сечением К называют множество элементов, отказ которых приводит к отказу системы. Удаление соответствующего множества блоков из ССН приводит к нарушению связи между входом и выходом схемы.

Сечения мостиковой структуры: {1, 2, }, {4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 4, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}.

Определение. Минимальным сечением С называют сечение, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов уже не будет более сечением.

Минимальными сечениями мостиковой структуры будут: {1, 2}, {4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}.

Разница между минимальными и не минимальными сечениями очевидна; например, множество {1, 3, 4, 5} - сечение, но не минимальное, потому что множество, остающееся после удаления элемента 4 ({1, 3, 5}), по-прежнему является сечением. Множество {1, 3, 5} напротив, уже минимальное сечение, так как дальнейшие попытки его сокращения приводят к множествам {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, которые более не являются сечениями.

В терминах булевой алгебры определения минимальных путей и сечений можно сформулировать следующим образом:

Определение. Минимальный путь (МП) структуры представляет собой такую конъюнкцию ее элементов, ни один из компонентов которой нельзя изъять, не нарушив условие работоспособнос­ти системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей функции алгебры логики (ФАЛ):

Определение. Минимальное сечение (МС) структуры представляет собой такую конъюнкцию из отрицаний ее элементов, ни один из компонентов которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы.

Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:

 

где K_cj обозначает множество номеров элементов, содержащихся в j-ом сечении.

Каждая структура имеет конечное число минимальных путей и минимальных сечений. Используя эти понятия, можно записать структурную функцию системы:

где К_т - число минимальных путей в системе.

Если обозначить через К_C число МC в структуре, то аналогичным образом можно записать структурную функцию через МС:

ибо система в целом отказывает тогда и только тогда, когда хотя бы одно минимальное сечение отказало.

Знак дизъюнкции соответствует параллельному соединению, а знак конъюнкции - последовательному. Таким образом, произвольная структура может быть представлена как параллельное соединение минимальных путей, которые, в свою очередь, представляют собой последовательное соединение элементов, или как последовательное соединение минимальных сечений, которые, в свою очередь, представляют собой параллельное соединение элементов.

Пример 3. Мостиковая ССН, изображенная на рис. 2.3., может быть преобразована в две эквивалентные (в смысле надежности) ССН: с помощью минимальных путей (рис. 2. 4 а) и с помощью минимальных сечений (рис. 2.4б).

Структурная функция будет иметь вид:

а) по минимальным путям, согласно формуле (2.59).

 

 

 

Рис. 2.4. Схемы, эквивалентные схеме на рис.2. 3

а) - схема с минимальными путями;

б) - схема с минимальными сечениями.

 

б) по минимальным сечениям, согласно формуле (2.60)

 

Отметим, что выражения (2.61) и (2.62) тождественны, и одно может быть получено из другого по правилам алгебры логики.

В качестве упражнения предлагается преобразовать с помощью метода минимальных путей и сечений структуру " 2 из З", изображенную на рис.2.2в, в эквивалентные ССН и записать ее структурную функцию.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: