Метод расчета показателей надежности с помощью алгоритма разрезания

Данный метод относится к логико-вероятностным методам (ЛВМ), т.е. к методам, использующим аппарат математической логики. Сущность ЛВМ заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для записи структурной функции и в разработке строгих способов и алгоритмов перехода от ФАЛ к вероятностной функции (ВФ), т.е. перехода от структурной функции у(Х) к функции надежности h(r).

В общем случае структурная функция имеет форму произвольной ФАЛ и поэтому непосредственный переход к функции надежности по правилам замещения невозможен.

Рассмотрим алгоритм вычисления вероятности истинности ФАЛ P [y(X) = 1]с помощью формулы полной вероятности.

Алгоритм разрезания основан на лемме 1., согласно которой структурную функцию можно представить в виде

Таким образом, если аргумент х₁ функции у является совместной двоичной переменной, то преобразование (3.1) дает нам возможность перейти к дизъюнкции двух несовместных высказываний, причем в первое высказывание аргумент х₁ входит своим утверждением, а во второе - отрицанием. Функции у₁ и y₀ отличаются от функции у тем, что в них везде вместо аргумента x₁ , поставлены соответственно 1 и 0 (в соответствиям с этим выбраны и индексы функций у₁ и у₀).

Аргументы x₁ и можно принять за несовместные гипотезы, образующие полную группу и, следовательно, есть все основания применять формулу полной вероятности. Необходимо также, чтобы функции y₁ и y₀ были бы представлены в ФПЗ. С этой целью процедуру разрезания повторяют несколько раз, пока не достигнут требуемой формы функций. На первом шаге разрезание функции у(Х) производится по той из переменных, которая большее количество раз встречается в выражении функции. После первого шага получают разложение (3.1)). Затем функции y₁ и y₀ упрощаются по правилам алгебры логики (если это возможно) и анализируются на предмет наличия в них, повторяющихся переменных.
При наличии таких переменных процедура разрезания применяется к y₁ и y₀

Операция разрезания проводится до тех пор, пока на очередном шаге не окажется, что ни в одну функцию, ни одна переменная не входит более одного раза. Таким образом, мы получим дизъюнкцию, каждый член которой представляет собой бесповторную ФАЛ, в общем случае произвольную. Применив к y_p1, где p1- множество индексов типа 0, 1, 01, 11,..., правило де Моргана, получим бесповторную фал в оазисе конъюнкция-отрицание. Такая форма ФАЛ является ФПЗ. В результате выполнения алгоритма разрезания исходная ФАЛ преобразуется к виду

 

где S – число членов дизъюнкции,

y_{ρ 1}(X) – бесповторные ФАЛ в базисе конъюнкция – отрицание,

H₁ - несовместные гипотезы образующие полную группу.

Например, если разложение (3.4) является окончательным, то раскрыв скобки будем иметь

В этом случае гипотезами будут

 

Функция P [y(X) = 1] вычисляется по формуле полной вероятности

 

где P [y|H_i] - условная вероятность работоспособного состояния системы при гипотезе H_i, причем

Тогда равенство (3.7) можно переписать в виде

Отметим, что ФАЛ, характеризующие гипотезы H_i, представлены в форме бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция - отрицание, этой же формы представления мы добились посредством алгоритма разрезания и для y_{ρ 1.} Этот факт и дает нам возможность перейти от логической функции к ВФ. Осуществивзамену в правой части равенства (3.9)) логических переменных вероятностными, а логических операций - арифметическими по правилам замещения, получим точное выражение для функции надежности, имея в виду, что

Подставив в h(r) значения показателей надежности элементов,

получим точное значение показателя надежности системы

 

Пример 1. Найдем функцию надежности системы, ССН которой изображена на рис. 2. 3.

Структурная функция системы была получена в главе 2 (см. формулу 2.61):

Чтобы правильно применять правило разрезания, применяется следующий прием. Разрезание проводится по тому аргументу, который чаще всего повторяется в ФАЛ. В данном примере х₁, х₂ , х₃, х4 повторяются дважды. Поэтому разрезание можно проводить по любому из этих аргументов, но лучше по х₃, так как он диагональный элемент.

На первом шаге произведем разрезание по переменной х₃

 

 

Заметим, что у₀ - бесповторная ФАЛ, следовательно, дальнейшее разрезание этой функции не требуется. В функции у₁ все переменные встречаются дважды. Выберем одну из них, допустим x₅, и произведем по ней разрезание у₁

 

 

Функция у₁₁ является повторной, однако, если проделать алгебраические (булевы) преобразования, то получим:

 

т.е. получили бесповторную ФАЛ. Аналогично для y10

 

Таким образом, все функции y_{ρ j} , входящие в выражение

являются бесповторными ФАЛ. Применим к ним правило де Моргана, с тем, чтобы получить их в базисе конъюнкция - отрицание:

 

 

Раскроем скобки в выражении (3.15)

 

Гипотезами в (3.19)) являются

 

В соответствии с формулой (2.15) имеем:

 

Выполнив замещение, получим выражение для функции надежности

 

Если предположить, что r₁=rдля всехi = 1..5, то

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: