Структурные схемы надежности

Под структурной схемой надежности (ССН) понимают некоторую условную схему, учитывающую влияние элементов и особенно связей между ними на работоспособность системы в целом. ССН основана на анализе последствий отказов элементов. В ходе ее составления анализируются возможные виды отказов элементов и влияние отказов элементов и их различных комбинаций на работоспособность системы. При этом функциональные элементы системы заменяются логическими элементами, принимающими значение либо 1, либо - 0, где 1 - соответствует работоспособному состоянию элемента, а 0 - неработоспособному, а функциональные связи заменяются логическими.

Важно, что разбивка системы на элементы должна учитывать удобства дальнейшего анализа как надежности элементов, так и надежности системы в целом. Из сказанного следует, что ССН может существенно отличаться от функциональной схемы этой же системы, учитывающей прохождение сигналов.

Пример 1. Чтобы проиллюстрировать ССН, рассмотрим небольшой фрагмент информационной сети, состоящий из трех линий связи (в общем случае разнотипных), соединяющих два абонента (рис.2.2). В зависимости от требований, предъявляемых к данной сети, можно построить различные ССН, в которых каждая линия представлена в виде элемента. Так, если необходима работа непременно всех трех линий, то ССН сети будет вид такой, как на рис 2.2а. В этом случае структура ССН последовательная. Если для успешной работы сети достаточно одной линии (неважно какой), то ССН будет такой, как на рис. 2.2б. В этом случае ССН параллельная. Если же для работы необходимо иметь минимум две из трех линий, то ССН будет иметь вид, изображенный на рис.2.2в. В этом случае говорят, что ССН имеет конфигурацию " 2 из З". Возможны и другие случаи, например, система считается работоспособной, если работоспособны непременно первая линия и любая из двух остальных. ССН такой информационной системы приведена на рис.2.2г и имеет последовательно-параллельную структуру. На рис. 2.2д приведена параллельная ССН, одна из ветвей которой представляет собой параллельное соединение элементов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2 Примеры ССН информационной сети

 

Таким образом, можно графически представить условия работоспособности различных вариантов систем через их структурные схемы надежности. На такой схеме все элементы системы в каком-то смысле равноценны, и это подчеркивается их одинаковым обозначением (одной и той же буквой X_i с различными номерами, произвольно присвоенными этим элементам) и одинаковым графическим изображением (в виде прямоугольника или кружка). Способ соединения элементов (не в электрическом, а в функциональном смысле) и раскрывает условия работоспособности.

Будем определять состояние i-го элемента системы булевой переменной х_i такой, что

 

Аналогичным образом бинарная переменная у обозначает состо­яние системы:

y_{i =}í 1, если система работоспособна (2.57)

0, если система отказала.

Предположим, что состояние системы определено полностью состоянием ее элементов, и будем далее записывать:

(2.58)

Функция у(Х) принимает значение либо 1, либо 0 и связывает условия работоспособности элементов ССН. Тем самым мы предполагаем, что состояние системы в смысле работоспособности детерминировано зависит от состояния ее элементов. Т.е. y(X) является функцией x₁, x₂, ......x_n, которые, в свою очередь, могут находиться только в двух несовместных состояниях: либо 1 (работоспособное состояние), либо 0 ( состояние полного отказа) В целом это предположение является до некоторой степени условным и ограничительным, так как оно исключает (хотя и не полностью) возможность частичного функционирования системы. Однако оно обладает тем достоинством, что приводит к модели, которая имеет строгое аналитическое решение и является достаточно реальной.

Каждой ССН можно сопоставить функцию алгебры логики, заменив связи между элементами х₁, х₂,... х_n конъюнкциями и дизъюнкциями. Такую функцию будем называть функцией алгебры логики (ФАЛ). Т.е. каждой системе через ССН однозначно сопоставляется ФАЛ , которую будем называть функцией работоспособности системы или структурной функцией системы.

Пример 2. Рассмотрим ССН, изображенные на рис. 2.2.

Для первой ССН (рис 2.2а) элементы соединены последовательно. Следовательно отказ системы будет тогда, когда откажет или 1-ый, или 2-ой или 3-ий элемент, т. е.

 

Применяя правило де Моргана получим

Это означает, что система работоспособна, когда работоспособны и 1-й, и 2-й, и 3-й элемент.

Рассмотрим параллельное соединение (рис. 2.2б). Отказ системы будет тогда, когда откажут и 1-ый и 2-ой и 3-ий элемент, т.е.

Тогда, применяя правило де Моргана, получим

y(X) = x₁Ú x₂ Ú x₃

Т.е. система работоспособна, когда работоспособен либо 1-й, либо 2-й, либо 3-й элемент.

Аналогично получаем:

для ССН (рис. 2.2 в) - y(X) = (x₁Ù x₂)Ú (x₁Ù x₃)Ú (x₂Ù x_3). Т. е. система работоспособна, когда работоспособны либо 1-й и 2-й, либо 2-й и 3-й, либо 1-й и 3-й элементы;

для ССН (рис.2.2 г) - y(X) = x₁Ù (x₂Ú x₃). Т. е. система работоспособна, когда работоспособны 1-й и либо 2-й, либо 3-й элемент;

для ССН (рис. 2.2 д) - y(X) = x₁Ú (x₂Ù x₃) - система работоспособна, когда работоспособен 1-й элемент, либо 2-й и 3-й.

 

В общем случае структурная функция имеет вид:

 

где К - число звеньев ССН, содержащих только параллельные соединения элементов, Р_j - множество элементов в j -ом звене CСН. Однако формула (1.12) справедлива лишь для такой последовательно - параллельной CСН, которая показана на рис.2.2. Для общего случая такую формулу записать нельзя, ибо последовательно - параллельные структуры могут иметь довольно сложную конфигурацию.

Помимо схем изображенных на рис. 2. 2, ССН могут иметь и так называемую мостиковую структуру.

Информационная система связи, имеющая мостиковую структуру приведена на рнс.2.3 Система считается работоспособной, если на выходе есть полезный сигнал.

 

 

 

Рис. 2.3 ССН информационной системы, имеющей мостиковую структуру

 

 

Монотонные структуры

Рассмотрим систему со следующими свойствами:

1) каждый элемент системы может находиться только в одном из двух состояний - работоспособном или неработоспособном;

2) сама система, в свою очередь, также может находиться только в одном из двух возможных указанных выше состояний;

3) если все элементы работоспособны, то система тоже работоспособна;

4) если все элементы отказали, то система тоже отказала;

5) отказ элемента в отказавшей системе не может восстановить ее работоспособность, и замена отказавшего элемента в работоспособной системе на исправный не может привести к отказу системы.

Для систем, удовлетворяющим условиям 3, 4 и 5 функция работоспособности системы

является монотонной, а сами системы называются системами с монотонной структурой. Заметим, что любая ФАЛ, записанная через конъюнкцию и дизъюнкцию (без отрицания) задает некоторую монотонную функцию [4].

Свойство монотонных булевых структурных функций означает следующее. Если система работоспособна при отказе подмножества своих элементов, то она работоспособна также, если отказало подмножество элементов. Причем . При работоспособности всех элементов система работоспособна, а при отказе всех элементов система всегда отказывает.

Свойство монотонности математически можно записать [3 ]:

1) если

2)

3)

В заключение сформулируем ряд определений.

Последовательные и параллельные ССН являются частным случаем последовательно-параллельных схем. Последние подразделяются на простые и сложные.

Определение. Простой структурной схемой надежности называется схема, в которой все логические элементы используются не более одного раза.

Все последовательные и все параллельные ССН являются простыми.

Определение. Сложной структурной схемой надежности называется схема, в которой хотя бы один логический элемент используется более одного раза и никакими упрощающими приемами ее нельзя свести к простой.

Структура " k из N" и мостиковая сводятся к эквивалентным сложным последовательно-параллельным ССН. Метод преобразования к эквивалентным схемам изложен в следующем подразделе.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: