Метод расчета показателей надежности с помощью алгоритма ортогонализации

В некоторых случаях переход от повторной ФАЛ к ВФ удобнее реализовать (например, с помощью ЭВМ) не по формуле полной вероятности, а с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий. С этой целью был разработан специальный алгоритм, основанный на преобразовании произвольной ФАЛ в ОДНФ. Для описания алгоритма ортогонализации сформулируем два утверждения [3].

 

Утверждение 1. Отрицание элементарной конъюнкции ранга s

K1 = x1, x2, ….xs

эквивалентно дизъюнкции

 

В матричной форме записи логических функций данное преобразование имеет вид:

 

 

Утверждение 2. Булева функция у(х₁ х₂,..., х_M), пред­ставленная в ДНФ в виде

эквивалентна функции

или в матричной форме записи:

 

Если вместо каждого выражения K_i (i ≤ m) подставить его представление согласно (3.24)), то в результате приведения дизъюнкции (3.27)) к ДНФ ( раскрытием скобок ) получим ОДНФ булевой функции у(х₁ х₂,..., х_M)

 

где о_i - ортогональные члены функции у(X) записанной в ОДНФ;

S - число членов ОДНФ.

Преобразовав структурную функцию у(Х.) к ОДНФ, можно приступить к вычислению функции надежности по формуле:

Пример 2. Как и в предыдущем примере, возьмем структурную

функцию (3.12))

 

Заметим, что функция у(Х) в выражении (3.31) представлена в ДНФ. Если бы она была записана в какой-либо другой форме (например, формула (2.62) ), то перед применением алгоритма ортогонализации ее необходимо было бы преобразовать к ДНФ.

 

Пронумеруем члены ДНФ (3.31) следующим образом:

 

 

 

Запишем уравнение (3.31), используя (3.32) в матричной форме с учетом 3.28:

 

 

 

Отрицание элементарных конъюнкций К, выразим с помощью преобразования (3.25):

Определим следующие конъюнкции

 

 

 

Подставив (3.35)-(3.37) в (3.33), окончательно получим

 

Как видно из равенства (3.38), все члены этой дизъюнкции действительно попарно ортогональны. Равенство (3.38) по внешнему виду отличается от равенства (3.23), тем не менее, оно приводит к тем же самым количественным результатам. Действительно, в соответствии с формулой (3.30) имеем

 

При одинаковой надежности всех элементов функция надежности системы примет вид

что полностью соответствует выражению (3.23).

Метод расчета надежности с использованием алгоритма ортогонализации достаточно трудоемок для ручных расчетов, но при использовании ПЭВМ - это один из эффективных методов практических расчетов структурно-сложных систем с большим числом элементов.

 

 

Рекурентный метод

 

Этот метод предложен И.А. Рябининым и основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий, в качестве которых здесь непосредственно выступают элементарные конъюнкций условий работоспособности системы, записанных в ДНФ с помощью кратчайших путей успешного функционирования [ 3 ].

 

или минимальных сечений

 

Согласно этой теореме и приведенным выражениям, вероятность безотказной работы системы (или вероятность ее отказа) можно вычислить по формулам:

 

 

Аналогичное можно написать выражение для P(y) и по минимальным сечениям.

Несмотря на кажущуюся громоздкость формул расчеты надежности с помощью такого метода называются достаточно простыми. Для этого предполагается производить расчеты в табличной форме, чем и объясняется название данного метода расчета.

 

Алгоритм наращивания путей

 

Поиск наиболее рациональных методов преобразования ФАЛ в ВФ привел к созданию еще одного метода, у истоков которого стояли Л.Г.Акулова и авторы работ [ 3 ].

Этот алгоритм позволяет в ряде случаев упростить вычисление вероятностных функций ортогональных ФАЛ в рассмотренном ранее методе ортогонализации за счет частичного замещения [3 ].

 

Схемно-логический метод

 

Предложен Смирновым А.С. и впервые опубликован в 1971 г. [3 ].

Этот метод основан на том, что за счет применения релейно-контактной схемы (РКС) разложение повторной ФАЛ производится не по одному аргументу (как это делается в алгоритме разрезания), а сразу по повторяющейся комбинации аргументов, что при числе аргументов (N> 20) дает существенный выигрыш.

Для практического применения в случае ССН большой размерности наиболее удобными можно считать алгоритмы ортогонализации, рекуррентный, наращивания путей. В случае небольшой размерности (N< 20) - схемно-логический метод и метод разрезания.

Более подробное изложение рекуррентного метода, наращивания путей и счетно-логического метода можно найти в книге И.А.Рябинина [3 ].

В заключение следует отметить следующее.

Модели и методы расчета надежности на базе булевых функций получили широкое распространение в практике изучения надежности, Однако, необходимо сделать некоторые замечания о границах применимости и недостатках таких моделей надежности.

1. В рамках теории булевых функций каждый элемент может иметь только два уровня ( 1 или 0). Но отказ одного и того же элемента в зависимости от его типа может иметь совершенно различные воздействия на систему (например, отказ типа " обрыв" и отказ типа " короткое замыкание" ).

1. При построении булевых моделей считается, что мгновенные состояния элементов

однозначно задают состояние системы в тот же момент времени. Это подразумевает, что временная последовательность отказов элементов не имеет значение.

Бинарность состояний элементов и системы часто бывает очень грубым приближением. Границы применимости булевых моделей в теории надежности и их недостатки следует искать исключительно в принципах построения этих моделей, поэтому и преодоление этих недостатков возможно при построении этих моделей. Эти вопросы выходят за рамки данного пособия. Более подробное изложение этих вопросов желающие могут найти в [3 ].

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: