Определение границ показателей надежности

 

Вычисление показателей надежности сложных многоэлементных систем сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Однако, имея некоторые априорные сведения о системе (например, значения показателей надежности элементов), практически всегда можно выбрать метод, позволяющий получить верхнюю R_с^в и нижнюю R_с^н границы значения показателя надежности системы R_с с удовлетворяющей исследователя точностью.

Самые грубые границы для показателя надежности монотонной системы могут быть получены путем сравнения ее с последовательной и параллельной структурами. Действительно, если бы все элементы системы были бы соединены последовательно с точки зрения надежности (когда отказ любого элемента приводит к отказу системы), то система обладала бы наименьшей надежностью по сравнению с любой другой структурой. В то же время параллельное соединение всех элементов (отказ только всех элементов приводит к отказу системы) обладает максимальной надежностью по сравнению с другими структурами. Таким образом, нижняя граница и верхняя граница

 

 

являются соответственно наименьшей и наибольшей границами значения показателя надежности системы R_c (разумеется, если не рассматривать вырожденные оценки типа 0 £ R_с £ 1, которые хотя и справедливы, но практической ценности не имеют). На рис.5а) изображены две кривые функции надежности системы, построенные согласно равенствам (1) и (2). Все остальные рассматриваемые ниже оценки будут лежать внутри заштрихованной области, за исключением оценок (2.68), которые, начиная с некоторых значений r_i, теряют физический смысл.

Рис. 5. Граничные оценки показателя надежности системы

а) согласно (1) и (2),

б) согласно неравенствам (17),

в) согласно неравенствам (21).

Хорошим инструментом для уточнения границ показателей надежности системы является ее представление через минимальные пути и минимальные сечения. Подавляющее большинство известных граничных оценок [2-4] основано на данном представлении монотонных систем. Простейшее из этих приближений вытекает из неравенства, справедливого для событий A_k

Это неравенство доказывается в теории вероятностей (например, при помощи диаграмм Вьенна).

Обозначим через y_l^т(X) структурную функцию l-го минимального пути, а через y_j^c(X) структурную функцию j-го минимального сечения. Тогда очевидно, что

где K_Tl и K_Cj - множества номеров элементов, содержащихся соответственно в l-ом пути и j-ом сечении.

Пусть A_l - событие, состоящее в том, что все элементы l-ого минимального пути работоспособны. Это эквивалентно равенству 1 структурной функции l-го минимального пути. Тогда

 

 

 

Это событие эквивалентно событию, состоящему в том, что структурная

функция системы у(Х) равна 1. Тогда

 

 

 

где K_T - число минимальных путей системы. Подставив (7) и (6) в (3) и с учетом (2.62) получим

 

 

т.е. верхнюю границу R_с^в показателя надежности системы R_с.

Вычислим теперь нижнюю границу R_с^н Согласно (2.60) и с учетом (5), структурная функция системы имеет вид

Применив к (9) правило де Моргана, получим

 

 

Вычислим вероятностную функцию

 

 

В соответствии с неравенством (3) можем записать

 

Вычтем из правой и левой частей по 1 и умножим обе части на –1:

 

Тогда с учетом (11) окончательно получим

 

 

Функция (4) представлена в форме элементарной конъюнкции (она характеризует элементарную последовательную структуру), такая форма является ФПЗ. Осуществив подстановки по правилам замещения в выражении для верхней границы (8), получим

Аналогичные преобразования выполним для нижней границы (14):

 

Таким образом, значение показателя надежности системы R_с лежит в пределах

 

Можно показать, что (8) является хорошим приближением для случая, когда надежность всех элементов системы мала, а (14) - хорошим приближением для случая, когда надежность всех элементов велика. На рис. 5б) изображены точное и приближенные значения показателя надежности системы.

Существенным недостатком граничных оценок вида (17) является тот факт, что при r_i ® 1 верхняя граница R_с^в стремится к некоторой величине, большей 1, а при

r_i ® 0 нижняя граница R_с^н стремится к отрицательной величине, что противоречит определению показателя надежности как вероятности, согласно которому R_с всегда находится в пределах 0 £ R_с £ 1, причем равенство нулю и единице имеет только математический смысл. Следующие граничные оценки показателя надежности системы, которые получили в литературе название оценок Эзари-Прошана, лишены данного недостатка. Но прежде чем приступить к их рассмотре­нию, введем понятие связанности случайных величин.

В большинстве практических случаев при анализе надежности рассматриваемые случайные величины являются скорее не независимыми, а связанными. Связанность случайных величин можно понимать как одну из форм положительной корреляции. В данном контексте мы имеем дело лишь с бинарными случайными величинами. Примером связанности является то, что различные минимальные пути системы имеют общие элементы (то же касается и минимальных сечений). Отказ одного из элементов приводит к тому, что ухудшаются характеристики всех минимальных путей, содержащих этот элемент. В этом случае имеется связанность соответствующих структурных функций у_l^т(Х) (или для сечений у_j^с(Х) ).

Сформулируем понятие связанности случайных величин в теории надежности. Две случайные величины S и Т называются связанными, если их ковариация неотрицательна, т.е.

где M[ ] - символ математического ожидания.

Более сильным условием связанности является

для всех возрастающих функций f и g. Наконец если

для всех f и g, которые возрастают по каждому из аргументов, имеет место еще более сильное условие связанности.

Самый сильный из этих трех критериев может иметь естественное обобщение на случай нескольких переменных.

Определение 1. Случайные величины Т₁, …, Т_N (не обяза­тельно бинарные) являются связанными, если

cov [Г( T ), ∆ T ] ≥ 0, T = < T1, T2, ….., TN > , для всех пар возрастающих бинарных функций Г, D..

Если S и T связанные случайные величины, принимающие значения 1 с вероятностями

r_s = P [S = 1] и r_т = P [T = 1] соответственно, то структурная функция вида

y(S, T)=S ^ T

принимает значение 1 с вероятностью

 

Приведенное выше понятие можно легко обобщить на случай связанных случайных величин Т₁, …, Т_N

Естественно, что при рассмотрении дизъюнкции связанных булевых переменных можно записать

 

но поскольку

получаем окончательно

Теперь, используя эти дополнительные сведения, перейдем непосредственно к получению граничных оценок для показателей надежности системы.

Граничные оценки получаются, если рассмотреть структурные функции (2.59) и (2.60), записанные соответственно для параллельного соединения минимальных путей и последовательного соединения минимальных сечений и учесть при этом неравенства (18) и

19. Действительно,

 

 

являются положительно коррелированными (отказы различных путей зависимы из-за того, что подмножества элементов, составляющих различные пути, могут пересекаться), можем записать, используя неравенство (18)

Итак, окончательно имеем

 

 

Нижняя граница получается, если использовать второе, представление структурной функции системы (1.16)

 

 

Таким образом, границы Эзари - Прошана имеют вид

 

На рис. 2.2 в) приводится графическое сравнение точного значения функции надежности системы R_с с верхней и нижней ее границами.

Существует еще целый ряд граничных оценок показателей надежности системы, которые дают различные по точности результаты и применяются в тех или иных случаях в зависимости от априорной информации о значениях показателей надежности элементов, многие из них имеют один общий недостаток, а именно: точность приближения целиком предопределена самой природой оценок и не зависит от желания исследователя. Ниже будет рассмотрен метод, который позволяет получить граничные оценки с заданной степенью приближения вплоть до получения точного значения показателя надежности системы. Этот метод носит название метода включения-исключения, он основан на применении теоремы сложения совместных событий.

Выберем в качестве структурной функции системы ее представление через минимальные пути (2.59) и запишем выражение для функции надежности

Согласно теореме сложения вероятностей совместных событий

 

Если обозначить Z_l, абсолютное значение l-го слагаемого правой части уравнения (21), где l = 1, …, K_т, то справедливо выражение

Тогда можно показать, что

и т.д. Первое из этих приближений совпадает с (8). Необходимо отметить, что последовательные оценки верхних и нижних границ по (23) не обязательно сходятся монотонно. Практика показывает, что достаточно вычислить лишь несколько Z_l, чтобы получить достаточно хорошее приближение, точность которого можно задать заранее, например, в виде модуля разности | R^в_ci – R^н_ci-1 |. Тогда расхождение точного значения и границы будет меньше или равно этой величине, то есть

| R_c - R^в_ci | ≤ | R^в_ci – R^н_ci-1 |

или

| R_c – R^н_ci-1 | ≥ | R^в_ci – R^н_ci-1 |

Если задать | R^в_ci – R^н_ci-1 | = 0, то получим точное значение показателя надежности системы, которое будет вычислено по формуле (22).

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: