Предельная теорема Пуассона (закон редких событий)

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11

Если число независимых опытов велико ( ), а , то формулу Бернулли применять трудно и нецелесообразно. Можно получить приближенную формулу Пуассона.

Теорема 11.1. Вероятность того, что событие наступит m раз в n опытах, когда , а вероятность появления в одном опыте , приближенно находится по формуле Пуассона:

, где .

находим по таблице приложений 3 (функция Пуассона).

Пример 11.1. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие испортится, равна 0,0002. Найти вероятность, что на базу прибудут 3 изделия, которые испортятся.

Решение:

n=5000, p=0,0002.

Так как n – велико, p – мало, следовательно, используем формулу Пуассона: , то по формуле Пуассона мы получим .

Ответ: 0,0613.

Пример11.2. Вероятность поступления сигнала в течение часа на коммутатор, обслуживающий 1000 абонентов, равна 0,003. Найти вероятность того, что в течение одного часа воспользуются телефоном менее трех абонентов.

Решение:

n=1000, p=0,003. Так как n – велико, p – мало, следовательно, используем формулу Пуассона .

Случайное событие ={менее трех абонентов позвонят в течение часа}, случайное событие ₁={в течение часа не позвонит ни один абонент}, ₂={в течение часа позвонит только один абонент}, ₃={в течение часа позвонят два абонента}.

, то по формуле Пуассона получим

Ответ: 0,432.

§12. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно m раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n=50, m=30, р=0,1, то для отыскания вероятности надо вычислить выражение . Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов и факториалов. Однако и этот путь остаётся громоздким и к тому же имеет существенный недостаток:
таблицы содержат приближённые значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и даёт асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно, поэтому мы рассмотрим лишь формулировку теоремы и примеры, которые иллюстрируют ее использование.

Теорема 12.1. (локальная теорема Лапласа)

Если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появиться в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

, при , где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения
функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (табл. 1 приложения). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция чётна, т. е. для неё выполняется равенство: .

Для значений значения функции принимают значения, равные нулю.

Пример 12.1. Найти вероятность того, что событие наступит
ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого
события в каждом испытании равна 0,2.

Решение:

Производятся последовательные независимые испытания, общее число которых велико и появление случайного события в каждом испытании имеет одну и ту же вероятность, то используем локальную теорему Лапласа . По условию n=400; m=80; р=0,2; q=1-p=1--0,2=0,8. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа , мы получим .

Вычислим значение аргумента функции . .
По таблице приложения 1 находим . Искомая вероятность .

Ответ: 0,04986.

Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р . Как вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях не менее m₁ и не более m₂ раз? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы рассмотрим без доказательства.

Теорема 12.2. (интегральная теорема Лапласа)

Если вероятность р наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в n испытаниях от m₁ до m₂, раз, приближенно равна определённому интегралу

, где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами (см. табл. 2 приложений), так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в конце каждого учебника по теории вероятностей. В таблице даны значения функции для положительных значений и для ; для пользуются той же таблицей (функция Ф(х) нечётная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)).

В таблице приложений 2 приведены значения интеграла
лишь до , так как для можно принять Ф(х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют интегральной функцией Лапласа.

Итак, вероятность того, что событие появится в n испытаниях от m₁ до m₂раз вычисляется по формуле:

, где и .

Пример 12.2. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей от 70 до 100 деталей не прошли проверку ОТК.

Решение:

Деталь проходит проверку ОТК – это последовательные независимые испытания, общее число которых велико и появление случайного события ={деталь не прошла проверку ОТК} в каждом испытании имеет одну и ту же вероятность, причём событие должно появиться от 70 до 100 раз, то используем интегральную теорему Лапласа.

По условию р=0,2; q=0,8; n=400; m₁ =70; m₂=100.

, где и .

.
Вычислим значения аргументов интегральной функции Лапласа :

Таким образом, пользуясь таблицей 2 приложения найдём значение и

Ответ: 0,8882.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что изучает наука теория вероятностей? Перечислите основные понятия теории вероятностей.

2. Что называют опытом, или испытанием? Что называют случайным событием?

3. Сформулировать определение достоверного и невозможного события в данном опыте? Приведите примеры.

4. Дать определение совместных случайных событий в данном опыте?

5. Какие случайные события называют несовместными в данном опыте? Приведите примеры.

6. Какие случайные события называют противоположными?

7. Какие случайные события считают равновозможными?

8. Что называют полной группой случайных событий?

9. Что называют элементарным исходом?

10. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному случайному событию?

11. Дать классическое определение вероятности случайного события?

12. Чему равна вероятность достоверного события? Чему равна вероятность невозможного события?

13. Перечислите основные свойства вероятности любого случайного события.

14. Сформулируйте правила суммы и произведения комбинаторики.

15. Что называют перестановками? По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов? По какой формуле вычисляют число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются?

16. Что называют размещениями? По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов? Как определить число размещений по m элементов с повторениями из n элементов?

17. Что называют сочетаниями? По какой формуле вычисляют число сочетаний из n различных элементов по m элементов? По какой формуле вычисляют число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?

18. Что называется относительной частотой случайного события и как она связана с вероятностью этого случайного события?

19. Перечислите основные свойства относительной частоты случайного события.

20. Как определяется геометрическая вероятность в общем случае? Как определяется геометрическая вероятность в пространственном случае, в плоском случае и в линейном случае?

21. Что называют суммой двух случайных событий? Что называют суммой нескольких случайных событий?

22. Что называют произведением двух случайных событий? Что называют произведением нескольких случайных событий?

23. Как вычисляется вероятность суммы совместных и несовместных двух случайных событий?

24. Чему равна сумма вероятностей противоположных случайных событий?

25. Дать определение условной вероятности.

26. Сформулируйте теорему о вероятности произведения двух зависимых случайных событий?

27. Чему равна вероятность произведения двух независимых случайных событий?

28. Записать формулу полной вероятности.

29. Записать формулу Байеса для проверки гипотез.

30. Записать формулу Бернулли.

31. Что понимают под законом редких случайных событий?

32. Каким образом определяется вероятность независимых повторных испытаний, когда их достаточно много?

33. Сформулируйте локальную теорему Лапласа в повторных независимых испытаниях.

34. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа в повторных независимых испытаниях.

Тест

Вариант №1

1. Теория вероятностей изучает:

а) закономерности случайных событий;

б) закономерности массовых однородных случайных событий;

в) закономерности массовых событий;

г) закономерности массовых случайных событий разного рода;

2. Основными понятиями теории вероятностей являются:

а) «испытание», «элементарный исход»;

б) «испытание», «достоверное событие», «элементарный исход»;

в) «испытание», «случайное событие» и «элементарный исход»;

г) «испытание», «случайное событие;

3. Все элементарные случайные события можно разделить на:

а) достоверные, недостоверные и случайные события;

б) невозможные и случайные события;

в) достоверные, невозможные и случайные события;

г) невозможные и случайные события;

4. Случайное событие ={выпадение восьми очков при выбрасывании игральной кости} является:

а) достоверным;

б) недостоверным;

в) невозможным;

г) возможным;

5. Вероятность достоверного события равна:

а) 1;

б) 0;

в) 0,5;

г) невозможно вычислить;

6. Вероятность любого случайного события может быть:

а) любым положительным числом;

б) любым натуральным числом;

в) равна 1,1;

г) положительным числом, меньшим 1;

7. Выбрасывают 2 монеты. Случайное событие ={выпадение «решки» на первой монете} и событие ={выпадение «герба» на второй монете} являются:

а) совместными;
б) зависимыми;

в) независимыми;

г) несовместными;

8. Какие из следующих пар событий являются несовместными:

а) ={выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, ={выход из строя телевизора, работающего на кухне};
б) ={в магазин вошёл покупатель старше 60 лет}, ={в магазин вошла женщина};

в) ={одно попадание при двух выстрелах по мишени}, ={два промаха при двух выстрелах по мишени};

г) ={потребитель услышал о товаре по радио}, ={потребитель прочитал о товаре в газете};

8. Случайные события образуют полную группу, если в результате испытания происходит:

а) хотя бы одно из них;

б) любое из этих событий;

в) хотя бы два из них;

г) хотя бы несколько из них;

9. Множества, составленные из n различных элементов по m, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком называют:

а) размещениями;

б) перестановками;

в) сочетаниями;

г) размещениями с повторениями;

10. Сколькими способами можно выбрать по 2 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

а) 1260;

б) 720;

в) 630;

г) 580;

11. Число всевозможных сочетаний определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

12. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «театр»:

а) 60;

б) 120;

в) 20;

г) 80;

13. Из корзины, содержащей красные, жёлтые и белые розы выбирается один цветок. Пусть события ={выбрана красная роза}, ={выбрана жёлтая роза}, ={выбрана белая роза}. Что означает событие: :

а) выбраны жёлтая или белая розы;

б) выбран любой цветок;

в) выбрана белая роза;

г) выбраны красная или жёлтая розы;

14. Несовместные случайные события , и не образуют полную группу, если их вероятности равны …

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

15. Сумма вероятностей противоположных событий равна:

а) 1;

б) 0;

в) 0,5;

г) невозможно вычислить;

16. В коробке 15 шаров. 5 из них красного цвета, 3 – зелёного цвета, а остальные синего цвета. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет синего цвета.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

17. Из 28 студентов группы, в которой 14 юношей, выбрано 7 человек. Какова вероятность того, что среди избранных будет ровно 3 юноши?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

18. Вероятность допущения ошибки при написании сочинения для одного абитуриента равна 0,3; для второго эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что оба они допустят ошибку.

а) 0,06;

б) 0,5;

в) 0,6;

г) 0,62;

19. Высушенные растения (гербарии) проходят проверку на пригодность одним из двух лаборантов. Вероятность того, что гербарий попадёт первому лаборанту, равна 0,6, а ко второму – 0,8. Вероятность того, что гербарий будет признан годным первым лаборантом, равна 0,94, вторым – 0,98. Наудачу выбранный гербарий оказался годным. Найти вероятность того, что гербарий был признан годным первым лаборантом.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

20. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут четыре семени.

а) 0,328;

б) 0,00045;

в) 0,06561;

г) 0,0018;

Вариант №2

1.Случайным событием называется:

а) любой факт, который в результате испытания обязательно произойдёт;

б) факт, который в результате испытания не произойдёт;

в) любой факт, который в результате испытания обязательно произойдёт;

г) любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти;

2. Случайные события называются несовместными если:

а) наступление одного из них исключает наступление любого другого;

б) наступление одного из них влечёт наступление любого другого;

в) наступление одного из них исключает наступление любых других;

г) наступление одного из них не исключает наступление любого другого;

3. Случайные события называются равновозможными, если:

а) нет оснований считать, что в данном испытании одно из них более возможно, чем другие;

б) если есть основания считать, что в данном испытании одно из них более возможно, чем другие;

в) их вероятности равны;

г) если есть основания считать, что в любых испытаниях они произойдут;

4. Случайное событие ={выпадение десяти очков при выбрасывании игральной кости} является:

а) достоверным;

б) несовместным;

в) невозможным;

г) противоположным;

5. Вероятность невозможного события равна:

а) 1;

б) 0;

в) 0,5;

г) невозможно вычислить;

6. Относительная частота случайного события может быть:

а) любым положительным числом;

б) любым натуральным числом;

в) равна 1,1;

г) положительным числом, меньшим 1;

7. Выбрасывают 2 игральные кости. Случайные события ={выпадение шести очков на первой игральной кости} и событие ={выпадение пяти очков на второй игральной кости} являются:

а) совместными;
б) зависимыми;

в) независимыми;

г) несовместными;

9. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только порядком называют:

а) размещениями;

б) перестановками;

в) сочетаниями;

г) размещениями с повторениями;

10. Сколькими способами можно выбрать по 3 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

а) 21420;

б) 14280;

в) 42840;

г) 7140;

11. Число всевозможных размещений определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

12. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «лотос»:

а) 60;

б) 120;

в) 20;

г) 80;

а) выбраны жёлтая или белая розы;

б) выбран любой цветок;

в) выбрана белая роза;

г) выбраны красная или жёлтая розы;

14. Несовместные случайные события , и не образуют полную группу, если их вероятности равны …

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

15. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна:

а) 1;

б) 0;

в) 0,5;

г) невозможно вычислить;

16. В коробке 15 шаров. 5 из них красного цвета, 3 – зелёного цвета, а остальные синего цвета. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет зелёного цвета.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

17. Из 28 студентов группы, в которой 12 юношей, выбрано 7 человек. Какова вероятность того, что среди избранных будет ровно 3 юноши?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

18. Вероятность допущения ошибки при написании сочинения для одного абитуриента равна 0,3; для второго эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что хотя бы один из абитуриентов допустит ошибку.

а) 0,06;

б) 0,5;

в) 0,94;

г) 0,44;

19. Высушенные растения (гербарии) проходят проверку на пригодность одним из двух лаборантов. Вероятность того, что гербарий попадет первому лаборанту, равна 0,6, а ко второму – 0,8. Вероятность того, что гербарий будет признан годным первым лаборантом, равна 0,94, вторым – 0,98. Найти вероятность того, что наудачу выбранный гербарий был признан годным.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

20. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех семян.

а) 0,328;

б) 0,00045;

в) 0,591;

г) 0,919;

Решение типового варианта

Задача 1. На вершину горы ведут шесть дорог. Сколькими способами турист может подняться и спуститься с неё, если подъём и спуск происходит по разным дорогам?

Решение:

Каждый подъем, и спуск представляет собой набор 2 способов из 6, отличающийся от других вариантов как порядком следования, т.е. являются размещениями из 6 элементов по 2.

Используя определение и формулу размещений (размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком), вычислим по формуле .

Учитывая, что всего 6 дорог, т.е. n=6 и нам надо выбрать 2 пути, т.е. m=2, причём надо учесть порядок расположения, то получим

Можно было решить задачу и используя правило произведения, т.е. если подъём совершаем по первой дороге, то спуск возможен 5-ю способами, аналогично, если подъём совершаем по второй дороге, то спуск возможен 5-ю способами и т. д. Таким образом, получим способов.

Ответ: 30.

Задача 2. На шесть сотрудников выделено четыре одинаковых путёвки. Сколькими способами их можно распределить?

Решение:

Каждая путёвка может быть выделена одному из 6 сотрудников, причем отличие наблюдается хотя бы одним элементом. Учитывая, что всего 6 сотрудников и нам надо выделить 4 путёвки, то мы выбираем 4 сотрудников из 6, причем отличие будет хотя бы одним элементом, то используя определение и формулу сочетаний получим

Ответ: 15.

Задача 3. Сколько различных перестановок существует из букв слова «кукуруза»?

Решение:

Нам нужно переставлять буквы в слове «кукуруза», причём в слове есть повторяющиеся буквы, тогда используем формулу перестановок с повторениями

Т.к в слове «кукуруза» буква «к» встречается 2 раза, то ; т.к. буква «у» встречается 3 раза, то ; буква «р» встречается в заданном слове один раз, то ; буква «з» встречается один раз, то ; буква «а» встречается один раз, то . В слове «кукуруза» всего 8 букв, то .

Ответ: 3360.

Задача 4. Какова вероятность того, что сумма очков на двух выброшенных игральных костях будет равна семи?

Решение:

Решим задачу, используя алгоритм решения задачи по теории вероятностей:

1) Испытание S – выбрасывают две игральные кости.

2) Случайное событие ={выпадение в сумме семи очков при выбрасывании двух игральных костей}.

3) Элементарные случайные события – появление очков на каждой игральной кости при выбрасывании двух костей являются равновозможными, несовместными и образующими полную группу.

4) , так как при выбрасывании одной кости, возможно, 6 вариантов и при выбрасывании второй кости, возможно, также 6 вариантов. Общее число равновозможных исходов испытания равно (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости).

5) , т. е. благоприятные исходы испытания 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1.

6) .

Ответ: .

Задача 5. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат со стороной 8см, окажется в круге диаметра 4см, касающегося двух сторон квадрата.

Решение:

1) Испытание S – в квадрат со стороной 8см помещен круг диаметра 4см, причем круг касается двух сторон квадрата, наудачу бросается точка.

2) Случайное событие = {брошенная точка окажется в круге}.

3) Элементарные случайные события – попадание точки в квадрат являются равновозможными, несовместными и образующими полную группу.

4) Т.к. общее число исходов (точек квадрата) является бесконечным, то применим геометрическое определение вероятности , , т.е. квадрат можно рассматривать как фигуру G.

5) , т. е. круг можно рассматривать как фигуру g.

6) .

Ответ: .

Задача 6. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, а для второго – 0,7. Спортсмены независимо друг от друга произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение:

Случайное событие {в мишень попал первый спортсмен}, случайное событие {в мишень попал второй спортсмен}, случайное событие {попадание в мишень хотя бы одного из спортсменов}. {ни один из спортсменов не попал в мишень}.

Используя формулу, получим:

Ответ: 0,955.

Задача 7. Имеется две урны. В первой урне 4 шара красного цвета и 5 шаров синего цвета, во второй - 4 шара красного цвета и 2 шара синего цвета. Вероятность выбора урн одинакова. Из наудачу выбранной урны вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый шар синего цвета?

Решение:

Случайное событие ={вынутый шар окажется синего цвета}. Шар синего цвета может быть извлечен либо из первой урны (гипотеза H₁), либо из второй урны (гипотеза H₂). Вероятность того, что шар вынут из первой урны равна . Вероятность того, что шар вынут из второй урны .

Условная вероятность того, что из первой урны будет извлечен шар синего цвета равна . Условная вероятность того, что из второй урны будет извлечен шар синего цвета равна .

Искомая вероятность того, что извлеченный наудачу шар окажется синего цвета, по формуле полной вероятности равна

Ответ: .

Задача 8. Животное здорово с вероятностью 0,9. Если животное здорово, то оно может выполнять некоторое задание в 75% всех попыток. Если животное нездорово, то оно способно выполнить это задание лишь в 40% всех попыток. Известно, что животное не справилось с заданием. Какова вероятность того, что оно здорово?

Решение:

Случайное событие ={животное не справилось с заданием}, гипотеза H₁={животное здорово}, а гипотеза H₂={животное нездорово}.

Соответствующие вероятности гипотез , .

Условная вероятность того, что животное не справилось с заданием, если здорово, равна . Условная вероятность того, что животное не справилось с заданием, если оно нездорово . Т. к. случайное событие ={животное не справилось с заданием} уже наступило и требуется пересчитать вероятность гипотезы H₁={животное здорово}, то получим по формуле Байеса

Ответ: 0,789.

Задача 9. Найти вероятность того, что при пяти выбрасываниях игральной кости грань с 5-ю очками появится: а) два раза; б) менее двух раз.

Решение:

а) Проводятся последовательные независимые испытания выбрасывание игральной кости, в каждом из которых случайное событие ={появление грани с 5-ю очками два раза} появляется с одной и той же вероятностью равной . Следовательно, для нахождения искомой вероятности используем формулу Бернулли , где , , , .

Тогда вероятность случайного события ={появление грани с 5-ю очками два раза при пяти выбрасываниях игральной кости}

б) Случайное событие ={появление грани с пятью очками менее двух раз при пяти выбрасываниях игральной кости},

Ответ: а) 0,1608; б) 0,4051.

Задача 10. Вероятность рождения мальчика 0,518. Найти вероятность того, что из 110 новорожденных будет 70 мальчиков.

Решение:

Рождение новорожденного – это последовательные независимые испытания, общее число которых велико и появление случайного события ={рождение мальчика} в каждом испытании имеет одну и ту же вероятность, то используем локальную теорему Лапласа. По условию n=110; m=70; р=0,518; q=1-p=1-0,518=0,482.

, при .

.
Вычислим значение аргумента х функции

. По таблице приложения 1 находим . Искомая вероятность .

Ответ: 0,00351.

Задача 11. Вероятность найти книгу по математике среди других книг равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 книг по математике будет не менее 30 и не более 35?

Решение:

Нахождение книги по математике – это последовательные независимые испытания, общее число которых велико и появление случайного события ={найдена книга по математике} в каждом испытании имеет одну и ту же вероятность. Нам нужно определить, что книг по математике будет не менее 30 и не более 35, то используем интегральную теорему Лапласа , где и

По условию, р=0,25; q=1-p=1-0,25=0,75; n=80; m₁=30; m₂=35.

.
Вычислим значения аргументов интегральной функции Лапласа :

, .

Таким образом, в результате вычислений получим:

По таблице приложений 2 , а

Ответ: 0,00485.

Варианты контрольных заданий:

Вариант№1

1) На пять сотрудников выделено три различных путёвки. Сколькими способами их можно распределить?

2) В условиях предыдущей задачи считаем, что все путёвки одинаковы. Сколькими способами их можно распределить?

3) Сколькими различными способами можно расставить 7 человек в очереди?

4) Библиотекарь наудачу выбирает две книги из 15 книг по математике. Какова вероятность того, что эти книги одного автора, если таких книг всего три?

5) В прямоугольник с вершинами А(-2,0), В(-2,5), С(1,5), Е(1,0) брошена точка. Какова вероятность того, что её координаты (х,у) будут удовлетворять неравенствам ?

6) Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник попадёт в цель: а) только один раз; б) хотя бы один раз.

7) В библиотеку поступили три партии книг по 100, 200 и 300 книг. Вероятность того, что книга по математике принадлежит 1, 2 и 3 партии равны 0,6, 0,7 и 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наудачу книга по математике?

8) 20% изделий, поступающих в магазин, изготовлено в ателье, остальные на швейных фабриках. Вероятность быть изделием высокого качества для изделия, изготовленного в ателье, равна 0,9, для остальных 0,75. Куплено изделие высокого качества. Где вероятнее всего оно изготовлено?

9) Вероятность выигрыша по лотерейному билету 0,3. Имеется 4 билета. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) выиграет один билет; б) более двух билетов выиграют.

10) При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерён 50 будут бракованными?

11) При перевозке хрупких изделий в среднем ломаются пять изделий из 50. Найти вероятность того, что при перевозке 1000 изделий сломаются от 70 до 80 изделий.

Вариант№2

1) В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выделить из них два человека на дежурство, если один из них должен быть «старшим»?

2) В условиях предыдущей задачи сколькими способами можно выделить двух человек, если «старшего» быть не должно?

3) Сколько различных перестановок существует из букв слова «водород»?

4) В урне находится 3 шара белого цвета и 5 шаров чёрного цвета. Из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди них есть 2 шара белого цвета?

5) В квадрат с вершинами О(0,0), К(0,3), А(3,3), В(3,0) наудачу брошена точка М(х,у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

6) Два охотника попадают в цель с вероятностями 0,8 и 0,95. Найти вероятность того, что при двух выстрелах каждым охотником в цель попало три пули.

7) Имеется 3 ящика. В первом ящике 20 шаров белого цвета, во втором 10 шаров белого и 10 шаров чёрного цвета, в третьем 5 шаров белого цвета и 15 шаров чёрного цвета. Вынут шар из наудачу взятого ящика. Какова вероятность того, что он белого цвета?

8) Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, из второй 6 студентов, из третьей 5 студентов. Вероятности того, что студент 1,2,3 группы попадёт в сборную института, соответственно равны 0,9, 0,7, 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. В какой из групп вероятнее всего учится студент?

9) Найти вероятность того, что при семи выбрасываниях игральной кости грань с двумя очками выпадет а) три раза; б) менее двух раз.

10) Определить вероятность одновременной остановки 30 машин из 100 работающих, если вероятность остановки одной машины равна 0,2.

11) Найти вероятность того, что случайное событие при 400 испытаниях наступит от 150 до 200 раз, если вероятность его появления в каждом испытании 0,3?

Вариант№3

1) Сколькими способами у сортировочной платформы можно поставить 6 вагонов различных направлений с различной расстановкой у сортировочной платформы, если на сортировочном пути ожидают подачи 12 вагонов различных направлений?

2) Из 49 номеров карточки «Спортлото» выигрывают 6. Сколькими способами это возможно?

3) Сколько различных перестановок можно получить из букв слова «абракадабра».

4) В ящике 20 болтов, из них 4 бракованных. Из ящика вынимают 7 болтов. Какова вероятность того, что среди вынутых болтов 2 будет бракованных?

5) Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно трём часам, а второго четырём часам.

6) Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа потребует внимания первый станок 0,2, второй 0,3, третий 0,2, четвертый 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания хотя бы один станок.

7) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы для лыжников 0,9, для велосипедистов 0,8, Для бегуна 0,75. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму?

8) Имеется два набора деталей: по 10 и 15 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна для наборов 0,9 и 0,8 соответственно. Взятая деталь оказалась стандартной. Какому набору вероятнее всего она принадлежит?

9) В цехе 8 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включено не менее семи моторов.

10) Вероятность наступления случайного события в одном испытании 0,8. Найти вероятность наступления события 80 раз в 100 независимых испытаниях.

11) При перевозке изделий в среднем ломаются два изделия из 50. Найти вероятность того, что при перевозке 1000 изделий сломаются от 100 до 120 изделий.

Вариант№4

1) Сколько трёхзначных чисел, состоящих из разных цифр, можно составить из 10 цифр?

2) В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 16 команд, причём две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

3) На полке стоит 15 книг: 6 – в переплётах чёрного цвета и 9 – в переплётах синего цвета. Сколько существует различных положений книг, при которых книги в переплётах чёрного цвета занимают первые 6 мест?

4) Выбрасывается 3 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 17?

5) В круг вписан правильный треугольник. Какова вероятность того, что наудачу поставленная в круг точка попадёт в треугольник?

6) Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятности попадания в цель для орудий 0,9, 0,7, 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.

7) Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5. Вероятности того, что лампа не проработает гарантийное число часов 0,1, 0,3, 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наугад лампа выдержит гарантийный срок? К какой партии вероятнее принадлежит выдержавшая гарантийный срок лампа?

8) Партия ламп на складе содержит 20% ламп с завода №1, 30% ламп с завода №2, 50% ламп с завода №3. Вероятность выпуска брака заводом №1 равна 0,01; заводом №2 – 0,005; заводом №3 – 0,006. Наугад взяли лампу, которая оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена третьим заводом?

9) Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,4. Произведено 5 выстрелов. Определить вероятность того, что: а) три пули попадут в цель, б) в цели будет не менее двух пробоин.

10) Вероятность брака на станке 0,0002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей, изготовленных на этом станке, 50 бракованных.

11) Вероятность появления случайного события на время испытаний 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

Вариант№5
1) Группа изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий, если на этот день недели запланированы занятия по 4 дисциплинам?

2) Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

3) Из цифр 0, 1, 2 и 3 составлены всевозможные четырёхзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Сколько получилось чисел?
4) Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если 5, взятых наугад, образцов соответствуют стандартам, то партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

5) Два лица условились встретиться в определённом месте между 15 и 16 часами и договорились, что кто придёт первым ждёт другого 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что они встретятся, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время, и моменты прихода независимы.

6) Вероятность того, что очередной покупатель приобретет в магазине товаров на сумму от 100 до 150 руб. равна 0,12, на сумму от 150 до 200 руб. – 0,04, на сумму не менее чем 200 руб. – 0,01. Определить вероятность того, что очередной покупатель приобретет товаров не менее чем на 200 руб.

7) Имеется две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

8) Для сдачи зачёта студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 на 25 вопросов, 5 на 20 вопросов и двое на 15 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найти вероятность того, что этот студент подготовил все вопросы.

9) Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми предприятий за время t сохранятся: а) два предприятия; б) более двух предприятий.

10) Работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят 380 студентов.

11) Вероятность нарушения стандарта при штамповке колец равна 0,3. Определить вероятность того, что из 800 готовых колец число непригодных будет заключено между 230 и 250.

Вариант№6
1) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг, если имеется 5 различных цветов и одна из полос должна быть красного цвета?
2) Из колоды в 52 карты вынимают 10 карт. Сколько есть возможностей вынуть хотя бы одного туза?

3) Из цифр 0, 1, 2 и 3 составляются четырехзначные числа, при чём все составляющие цифры различны. Сколько всего чисел?

4) На предприятии 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смене занято 3 инженера, состав смены формируется случайным образом. Какова вероятность того, что в смене окажется не менее 2 мужчин.

5) На отрезке наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

6) Охотники , , попадают в летящую утку с вероятностями соответственно равными , и . Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность того, что утка будет подбита?

6) На автобазе имеется 12 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 машин.

7) С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго – 30%, с третьего – 50% деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной.

8) Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

9) В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех автомобилей.

10) Вероятность того, что деталь не прошла проверку, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных 120.

11) В партии из 2200 изделий каждое изделие независимо от других может быть бракованным с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что число бракованных изделий заключено между 500 и 600.

Вариант№7

1) В урне имеется 10 шаров, помеченных номерами от 1 до 10. Из урны вынимают три раза по шару, записывают номер вынутого шара и возвращают шар в урну. Сколько существует возможностей того, что все номера окажутся разными?

2) Из колоды в 36 карт вынимают 9 карт. Сколько есть возможностей вынуть 3 дамы?

3) На полке стоят 5 книг в чёрных переплётах и 15 книг в синих. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в синих переплётах стояли рядом?

4) На базу поступило 40 ящиков овощей, из них 30 – первого сорта. Для проверки наудачу берут два ящика. Какова вероятность того, что: а)оба ящика содержат овощи первого сорта; б) разного сорта; в) одного сорта?

5) Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата? (квадрат со стороной 2см).

6) Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Какова вероятность того, что в мишень попали ровно две пули, если вероятность попадания каждым стрелком соответственно равна 0,5, 0,7, 0,8?

7) С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей первого автомата имеется 0,1% бракованных деталей, второго – 0,2% третьего – 0,25%, четвертого – 0.5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь будет бракованной.

8) Один из трех стрелков вызывается на линию и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведён вторым стрелком.

9) В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включено более четырёх моторов.

10) Средний процент нарушения работы телевизора в течение гарантийного срока равен 12%. Вычислить вероятность того, что из 46-ти телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.

11) Вероятность неточной сборки прибора равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 (включительно) точных.

Вариант№8
1) Сколько существует телефонных номеров по 6 цифр?
а) состоящих из различных цифр; б) возможны повторения цифр.
2) В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Все они выходят на разных этажах. Определить сколько возможных способов?

3) Сколько существует способов сформировать состав из 15 вагонов, чтобы на первых 4 местах стояли почтово-багажные вагоны, а затем 8 пассажирских, а в конце – плацкартные?

4) Из колоды в 36 карт извлечено 6. Какова вероятность того, что среди вынутых карт оказалось три туза?

5) На плоскости начерчены 2 концентрические окружности радиусов 7 и 3 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадёт в кольцо.

6) Банк выделяет кредиты трем фирмам , и . Вероятность возврата кредита в срок фирмой равна 0,9, фирмой 0,8, фирмой 0,7. Найти вероятности следующих событий: 1) ровно две фирмы вернут кредиты в срок; 2) хотя бы одна фирма вернет кредит в срок.

7) Детали с первого и второго станков поступают на транспортер, причем производительность второго станка в 2 раза больше производительности первого. Вероятность детали, изготовленной на первом станке, быть стандартной, равна 0,87, на втором 0,93. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной.

8) В трех корзинах находится картофель. В первой 10% клубней повреждено, во второй 15% клубней повреждено, а в третьей 20%. Из наудачу выбранной корзины берут один клубень, который оказывается не поврежден. Найти вероятность того, что клубень был вынут из второй корзины.

9) Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Произведено 6 выстрелов. Определить вероятность того, что: а) три пули попадут в цель, б) в цели будет не менее трёх пробоин.

10) Средний процент нарушения работы телевизора в течение гарантийного срока равен 15%. Найти вероятность того, что из 46 телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.

11) Вероятность того, что деталь не прошла проверку, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 80 до 120 деталей.

Вариант№9
1) Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, французского, английского, немецкого, итальянского на любой другой из 5 языков?
2) У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдаёт по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
3) Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «ингредиент».

4) Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным).

5) Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше ?

6) Монета выбрасывается три раза. Какова вероятность того, что «решка» выпадет ровно два раза?

7) С первого автомата на сборку поступают 20%, со второго 30%, с третьего 50% деталей. Первый автомат дает в среднем – 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 1%. Найти вероятность того, что поступившая на с6орку деталь будет бракованной.

8) В пирамиде 12 винтовок, из которых 7 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,93; для винтовок без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найти вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

9) В магазин вошли 12 покупателей. Вероятность того, что в отдельности каждый из них купит что-нибудь, равна 0,42. Найти вероятность того, что; а) все 12 покупателей совершат покупки; б) менее трёх покупателей совершат покупки.

10) Определить вероятность того, что при 150 выстрелах из винтовки мишень будет поражена 60 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле – 0,3.

11) Определить вероятность того, что из 1000 родившихся детей число мальчиков будет не менее 470 и не более 580, если вероятность рождения мальчиков равна 0,513.

Вариант№10
1) Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты по одной карте каждой масти, чтобы среди вынутых карт не было не одной пары одинаковых (то есть двух королей, двух десяток и так далее).
2) На конференции присутствуют 52 человека. Надо выбрать делегацию в составе 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?
3) В холодильнике лежат 2 яблока, З груши, 4 апельсина. Мама выдает дочке каждый день по фрукту. Сколькими способами это можно сделать?
4) Из ящика, содержащего жетоны с номерами от 1 до 55, участники жеребьевки вытягивают жетоны. Определить вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 2.

5) В квадрат с вершинами О(0,0), К(0,1), А(1,1), В(1,0) наддачу брошена точка М(х,у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

6) Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа потребует внимания первый станок 0,2, второй 0,3, третий 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания только два станка.

7) С первого автомата на сборку поступают 20%, со второго – 30%, с третьего – 50% деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

8) Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,3. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?

9) В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; б) не более двух пакетов.

10) Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 550 девочек?

11) Вероятность появления события на время испытаний 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

Вариант№11
1) Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице - президента, учёного секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

2) Сколькими различными способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?

3) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

4) Из 20 автомобилей, поступивших на продажу, 8 имеют скрытые дефекты, 12 – визуально наблюдаемые дефекты. Определить вероятность того, что из случайно выбранных 5 автомобилей, 2 имеют скрытые дефекты.

5) На плоскости начерчены 2 концентрические окружности радиусов 8 и 4 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в кольцо.

6) В электрической цепи 4 элемента, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,1, 0,3, 0,3 и 0,4. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы включены: а) параллельно, б) последовательно.

7) С первого автомата на сборку поступают 10%, со второго – 40%, с третьего - 50% деталей. Первый автомат дает в среднем 0,3% брака, второй 0,4%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь - бракованная.

8) На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0,5% брака, второй – 1%, третий – 0,4%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку бракованная деталь изготовлена на первом автомате, если всего поступило 100 деталей с первого автомата, 200 – со второго, 250 – с третьего.

9) В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что из девяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех автомобилей.

11) Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,55. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена от 75 до 85 раз.

Вариант №12

1) У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдаёт своим сыновьям так, чтобы каждый получил либо один, либо ничего. Сколькими способами это можно сделать?

2) Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

3) Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

4) Среди 17 студентов группы, в которой 9 девушек, разыгрываются 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 девушки?

6) Два электромотора работают с надежностью 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что работают: а) только один; б) хотя бы один; в) оба электромотора;

7) Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, из них – 70% для цветных,
30% – для чёрно-белых. 50% всей продукции идет на экспорт, причем 40% для цветных телевизоров. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп, который следует на экспорт, предназначен для чёрно-белого телевизора.

8) 30% изделий, поступающих в магазин, изготовлено в ателье, остальные изготовлены на швейных фабриках. Вероятность быть изделием высокого качества для изделия, изготовленного в ателье, равна 0,8, для остальных
0,65. Куплено изделие высокого качества. Где вероятнее всего оно изготовлено?

9) Монету выбрасывали шесть раз. Найти вероятность того, что «решка» выпадет: а) ровно четыре раза; б) не менее трёх раз.

10) Вероятность брака на станке 0,003. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей, изготовленных на этом станке, 50 бракованных.
11) Вероятность появления события на время испытаний 0,75. Найти вероятность того, что событие появится не менее 65 раз и не более 80 раз при 90 испытаниях.

Вариант№13
1) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску с m вертикалями и n горизонталями 8 различных фигур?

2) У одного человека есть семь книг по математике, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять по 2 книги?

3) Сколько способов разделить 28 костей домино между четырьмя игроками поровну?

4) Из хорошо стасованной колоды в 36 карт выбирают 2 карты. Какова вероятность, что среди них окажется одна дама?

5) В квадрат с вершинами О(0,0), К(0,4), А(4,4), В(4,0) наддачу брошена точка М(х,у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

6) Экзаменационный билет содержит 4 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопрос – 0,9, на третий вопрос и четвертый – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) хотя бы на три вопроса; б) на все вопросы.

7) С первого автомата на сборку поступают 40%, со второго – 20%, с третьего – 40% деталей. Первый автомат дает в среднем 2% брака, второй 3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь не бракованная.

8) Для участия в соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй 6, из третьей 5. Вероятности того, что отобранный студент попадёт из первой, второй, третьей групп в сборную института, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

0,3

рой, треттьей-6, из третьей - 5.аза; б) хотя бы один раз.9) В среднем пятая часть поступающих в продажу машин некомплектна. Найти вероятность того, что среди 8 машин имеют некомплектность: а) четыре машины; б) менее трёх машин;

10) В гараже 200 машин, из которых 80 работают на газу. Найти вероятность того, что при выборе 40 машин, 30 из них будут на газу.

11) Средний процент нарушения работы телевизора в течение гарантийного срока равен 13%. Найти вероятность того, что из 50 телевизоров выдержат гарантийный срок от 40 до 45 телевизоров.

Вариант14
1) Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100, 200, 400 и 800 метров. Сколькими способами это можно сделать?

2) В условиях предыдущей задачи сколькими способами можно составить команду для участия в беге на 1000 м?

3) Сколькими способами можно расставить белые фигуры (1 король,
2 слона, 2 ладьи, 2 коня и 1 ферзь) на первой линии доски.

4) Среди 50 электрических лампочек имеется 7 нестандартных. Найти вероятность того, что две последовательно взятые лампочки окажутся нестандартными.

6) Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятности попадания в цель для орудий 0,8, 0,6, 0,6. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.

7) Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями
0,3, 0,4, 0,5. Вероятности того, что лампа не проработает гарантийное число часов 0,2, 0,1, 0,3 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наугад лампа выдержит гарантийный срок? К какой партии вероятнее принадлежит выдержавшая гарантийный срок лампа?

8) Высушенные растения проходят проверку на пригодность одним из двух лаборантов. Вероятность того, что гербарий попадет первому лаборанту, равна 0,6, а ко второму 0,8. Вероятность того, что гербарий признан годным первым лаборантом, равна 0,85, а вторым 0,65. Найти вероятность того, что гербарий был признан годным вторым лаборантом.
9) Вероятность брака на станке 0,8. Найти вероятность того, что среди 10 деталей, изготовленных на этом станке: а) 4 бракованных; б) менее трёх бракованных.

10) В некотором озере пескари составляют 70%. Найти вероятность того, что из 300 выловленных рыб из этого озера пескарей будет 180?

11) Вероятность найти драгоценный камень среди прочих составляет 0,35. Какова вероятность того, что среди 50 камней драгоценных будет не менее 20, но не более 30?

Вариант№15
1) В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 разных чашек, 5 разных блюдец, 6 разных чайных ложек. Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает чашку, ложку и блюдце)?

2) Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое из этих 17 не могут быть выбранными вместе?

3) Сколько браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов, 7 одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

4) В конверте среди 60 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 8 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

5) Иван и Петр договорились о встрече около кинотеатра между 15 и 16 часами. Каждый приходит в случайный момент времени и ждет 12 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится после 15.30.
6) Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый 0,85, второй 0,7. Найти вероятность того, что сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один.

7) Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в АУ, ОЗУ и остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружить сбой в АУ, ОЗУ, остальных устройствах соответственно равна 0,7, 0,8, 0,8. Какова вероятность того, что возникший сбой в ЭВМ будет обнаружен?
8) Имеется два набора деталей: по 12 и 15 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна для наборов 0,8 и 0,6 соответственно. Взятая деталь оказалась стандартной. Какому набору вероятнее всего она принадлежит?

9) В ящике 70% стандартных деталей, остальные – нестандартные. Найти вероятность того, что из пяти наугад взятых деталей окажутся: а) две стандартные; б) не более двух стандартных.

10) Тигры – альбиносы встречаются в природе с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что среди 300 тигров, живущих в тайге будет альбиносов от 50 до 65?

11) Вероятность наступления события в одном испытании 0,65. Найти вероятность наступления события 50 раз в 130 независимых испытаниях.

Вариан№16
1) На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться и спуститься с неё, если подъём и спуск происходит по разным дорогам?
2) Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой должно быть хотя бы по одному юноше?

3) На собрании должно выступить 5 человек А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать раньше А? Та же задача, но А должен выступать непосредственно перед Б.

4) В цехе работают 15 мужчин и 7 женщин. По табельным нормам наугад выбрали 10 человек. Найти вероятность тою, что среди отобранных лиц окажутся 4 женщины.

5) Два студента договорились о встрече между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент времени и ждет 20 минут. Какова вероятность того, что встреча не состоится?

6) Два орудия стреляют одновременно и независимо друг от друга по самолёту. Самолёт сбит, если в него попал хотя бы один снаряд. Какова вероятность сбить самолёт, если вероятность попадания первого орудия – 0,7, а второго – 0,75?

7) В библиотеку поступили три партии книг по 150, 250 и 300 книг. Вероятность того, что книга по математике принадлежит первой, второй и третьей партии равны 0,7 , 0,8 и 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наудачу книга по математике?

8) В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием М, 20% – с заболеванием Л. Вероятности полного излечения болезней К, Л, М равны соответственно 0.7, 0.9, 0.8. Больной, поступивший в больницу, через некоторое время был выписан здоровым. Каким заболеванием вероятнее всего страдал больной?
9) В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано СС выплатой страховой суммы: а) три договора; б) не более одного договора.

10) При массовом производстве шестерен вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерен 40 будут бракованными?

11) Вероятность наступления события в одном испытании 0,7. Найти вероятность наступления события от 30 раз до 50 раз в 120 независимых испытаниях.

Вариант№17
1) Компания из семи юношей и десяти девушек танцует. Если в каком-то танце участвуют все юноши, то, сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце?

2) В условиях предыдущей задачи, сколько существует вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашёнными?
3) Сколько можно сделать перестановок из n элементов, в которых данные два элемента А и В не стоят рядом?

4) Из пяти карт с буквами А, Б, В, Г и Д наудачу берут три и раскладывают. Какова вероятность того, что получится слово «два»?
5) В прямоугольник с вершинами А(-2,0), В(-2,5), С(1,5), Е(1,0) брошена точка. Какова вероятность того, что её координаты (х,у) будут удовлетворять неравенствам ?

6) Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа потребует внимания первый станок – 0,1, второй – 0,2, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания хотя бы один станок.
7) Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная процедура контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,05, если она нестандартна. Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

8) 60% деталей изготовлено автоматом, дающим 3% брака, а 40% автоматом, дающим 2% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Каким автоматом вероятнее всего изготовлена эта деталь?
9) Сигналы, посланные радиолюбителем, могут быть пойманы с вероятностью 0,3 каждый. Какова вероятность, что из 5 сигналов будет пойман: а) только один сигнал; б) не менее четырёх сигналов?

10) Было обследовано 400 кустов смородины. Вероятность поражения куста равна 0,3. Какова вероятность того, что при обследовании 200 кустов, 150 из них будут не поражены.

11) Определить вероятность того, что при 150 выстрелах из винтовки мишень будет поражена от 70 до 90 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,2.

Вариан№18
1) В избирательную компанию выбрано 12 человек. Из них надо выбрать председателя, секретаря, заместителя председателя. Сколькими способами это возможно сделать?

2) Сколькими способами можно разложить 10 монет в четыре пакета, если ни один не должен остаться пустым?

3) В купе вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть по ходу поезда, 3 – против хода, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

4) Библиотекарь наудачу выбирает две книги из 20 книг по математике. Какова вероятность того, что эти книги одного автора, если таких книг всего четыре?

5) На отрезке [-2;3] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше 2, а произведение меньше 2?

6) Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятности попадания в цель для орудий 0,8, 0,6, 0,6. Найти вероятность того, что в цель попало два снаряда.

7) Имеется два набора деталей: по 20 и 25 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна для наборов 0,7 и 0,6 соответственно. Определить вероятность того, что взятая деталь окажется стандартной. Какому набору вероятнее всего она принадлежит?

8) Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 человека, из второй 6 человек, из третьей 5 студентов. Вероятности того, что студент 1,2,3 группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. В какой из групп вероятнее всего учится студент?

9) Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Имеется пять билетов. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) выиграет один билет; б) выиграют менее трех билетов.

10) Испытываются 250 приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет 50 из испытываемых приборов, если известно, что вероятность отказа в течение часа одного из этих приборов равна 0,07 и одинакова для всех приборов.

11) Найти вероятность того, что событие при 200 испытаниях наступит от 100 раз до 120 раз, если вероятность его появления в каждом испытании 0,4?

Вариант№19
1) В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей независимо друг от друга должны пронумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании, по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев победитель будет определён?

2) В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток? 9 открыток? 12 открыток?
3) Сколькими способами можно переставить буквы слова ‘перешеек”, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд?

4) В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 9. Наудачу извлекается 2 жетона. Какова вероятность того, что будут вынуты: а) оба жетона с нечётными номерами; б) хотя бы один жетон с нечётным номером;

6) Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на два сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй 0,3. Какова вероятность попадания в один из секторов?

7) На складе находятся 55 деталей, изготовленных тремя бригадами. 15 деталей выполнила первая бригада, 16 – вто8рая, 24 – третья. Определить вероятность поступления на сборку детали, изготовленной третьей бригадой.

8) Высушенные растения проходят проверку на пригодность одним из двух лаборантов. Вероятность того, что гербарий попадет первому лаборанту, равна 0,75, а ко второму 0,85. Вероятность того, что гербарий признан годным первым лаборантом, равна 0,95, а вторым 0,85. Найти вероятность того, что гербарий был признан годным вторым лаборантом.

9) Сигналы, посланные радиолюбителем, могут быть пойманы с вероятностью 0,3 каждый. Какова вероятность, что из 4 сигналов будет поймано: а) только два сигнала; б) не более двух сигналов?

10) В стаде 150 коров, из которых 90 дают молоко. Найти вероятность того, что из 60 случайно выбранных коров 50 дают молоко?

11) В партии из 2000 арбузов каждый арбуз оказывается поврежденным с вероятностью 0,15. найти вероятность того, что количество целых арбузов составит не менее 1800, но не более 1900.

Вариан№20
1) На школьном вечере присутствуют 15 юношей и 12 девушек. Сколькими способами из них можно выбрать 4 пары для танца?

2) Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на черных полях шахматной доски?

3) 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение, и учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение?

4) Какова вероятность того, что сумма очков на двух выброшенных игральных костях будет делиться на 5?

5) Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат со стороной 8см, окажется в круге диаметра 2см, касающегося двух сторон квадрата.
6) Для некоторой местности число дождливых дней в июле равно 4. Чему равна вероятность того, что первые три дня будут или все солнечные или все дождливые?

7) Партия ламп на складе содержит 20% ламп с завода №1, 45% ламп с завода №2, 35% ламп с завода №3. Вероятность выпуска брака заводом №1 равна 0,01; заводом №2 – 0,004; заводом №3 0,006. Найти вероятность того, что первая же взятая наугад лампа будет бракованной.

8) Имеется две урны. В первой урне 4 шара красного цвета и 5 шаров синего цвета, во второй – 4 шара красного цвета и 2 шара синего цвета. Вероятность выбора урн одинакова. Из наудачу выбранной урны вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый наудачу шар будет синего цвета?

9) Сигналы, посланные радиолюбителем, могут быть пойманы с вероятностью 0,4 каждый. Какова вероятность, что из 7 сигналов будет поймано: а) только три сигнала; б) не менее четырёх сигналов?

10) Вероятность рождения мальчика 0,518. Найти вероятность того, что из 110 новорожденных будет 70 мальчиков.

11) Вероятность найти книгу по математике среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 книг по математике будет не менее 60 и не более 70?

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица значений функции

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001
4,0	0,0001338
4,5	0,0000160
5,0	0,0000015

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции

x		x		x		x		x		x
0,00	0,0000	0,43	0,1664	0,86	0,3051	1,29	0,4015	1,72	0,4573	2,30	0,4893
0,01	0,0040	0,44	0,1700	0,87	0,3078	1,30	0,4032	1,73	0,4582	2,32	0,4898
0,02	0,0080	0,45	0,1736	0,88	0,3106	1,31	0,4049	1,74	0,4591	2,34	0,4904
0,03	0,0120	0,46	0,1772	0,89	0,3133	1,32	0,4066	1,75	0,4599	2,36	0,4909
0,04	0,0160	0,47	0,1808	0,90	0,3159	1,33	0,4082	1,76	0,4608	2,38	0,4913
0,05	0,0199	0,48	0,1844	0,91	0,3186	1,34	0,4099	1,77	0,4616	2,40	0,4918
0,06	0,0239	0,49	0,1879	0,92	0,3212	1,35	0,4115	1,78	0,4625	2,42	0,4922
0,07	0,0279	0,50	0,1915	0,93	0,3238	1,36	0,4131	1,79	0,4633	2,44	0,4927
0,08	0,0319	0,51	0,1950	0,94	0,3264	1,37	0,4147	1,80	0,4641	2,46	0,4931
0,09	0,0359	0,52	0,1985	0,95	0,3289	1,38	0,4162	1,81	0,4649	2,48	0,4934
0,10	0,0398	0,53	0,2019	0,96	0,3315	1,39	0,4177	1,82	0,4656	2,50	0,4938
0,11	0,0438	0,54	0,2054	0,97	0,3340	1,40	0,4192	1,83	0,4664	2,52	0,4941
0,12	0,0478	0,55	0,2088	0,98	0,3365	1,41	0,4207	1,84	0,4671	2,54	0,4945
0,13	0,0517	0,56	0,2123	0,99	0,3389	1,42	0,4222	1,85	0,4678	2,56	0,4948
0,14	0,0557	0,57	0,2157	1,00	0,3413	1,43	0,4236	1,86	0,4686	2,58	0,4951
0,15	0,0596	0,58	0,2190	1,01	0,3438	1,44	0,4251	1,87	0,4693	2,60	0,4953
0,16	0,0636	0,59	0,2224	1,02	0,3461	1,45	0,4265	1,88	0,4699	2,62	0,4956
0,17	0,0675	0,60	0,2257	1,03	0,3485	1,46	0,4279	1,89	0,4706	2,64	0,4959
0,18	0,0714	0,61	0,2291	1,04	0,3508	1,47	0,4292	1,90	0,4713	2,66	0,4961
0,19	0,0753	0,62	0,2324	1,05	0,3531	1,48	0,4306	1,91	0,4719	2,68	0,4963
0,20	0,0793	0,63	0,2357	1,06	0,3554	1,49	0,4319	1,92	0,4726	2,70	0,4965
0,21	0,0832	0,64	0,2389	1,07	0,3577	1,50	0,4332	1,93	0,4732	2,72	0,4967
0,22	0,0871	0,65	0,2422	1,08	0,3599	1,51	0,4345	1,94	0,4738	2,74	0,4969
0,23	0,0910	0,66	0,2454	1,09	0,3621	1,52	0,4357	1,95	0,4744	2,76	0,4971
0,24	0,0948	0,67	0,2486	1,10	0,3643	1,53	0,4370	1,96	0,4750	2,78	0,4973
0,25	0,0987	0,68	0,2517	1,11	0,3665	1,54	0,4382	1,97	0,4756	2,80	0,4974
0,26	0,1026	0,69	0,2549	1,12	0,3686	1,55	0,4394	1,98	0,4761	2,82	0,4976
0,27	0,1064	0,70	0,2580	1,13	0,3708	1,56	0,4406	1,99	0,4767	2,84	0,4977
0,28	0,1103	0,71	0,2611	1,14	0,3729	1,57	0,4418	2,00	0,4772	2,86	0,4979
0,29	0,1141	0,72	0,2642	1,15	0,3749	1,58	0,4429	2,02	0,4783	2,88	0,4980
0,30	0,1179	0,73	0,2673	1,16	0,3770	1,59	0,4441	2,04	0,4793	2,90	0,4981
0,31	0,1217	0,74	0,2703	1,17	0,3790	1,60	0,4452	2,06	0,4803	2,92	0,4982
0,32	0,1255	0,75	0,2734	1,18	0,3810	1,61	0,4463	2,08	0,4812	2,94	0,4984
0,33	0,1293	0,76	0,2764	1,19	0,3830	1,62	0,4474	2,10	0,4821	2,96	0,4985
0,34	0,1331	0,77	0,2794	1,20	0,3849	1,63	0,4484	2,12	0,4830	2,98	0,4986
0,35	0,1368	0,78	0,2823	1,21	0,3869	1,64	0,4495	2,14	0,4838	3,00	0,49865
0,36	0,1406	0,79	0,2852	1,22	0,3883	1,65	0,4505	2,16	0,4846	3,20	0,49931
0,37	0,1443	0,80	0,2881	1,23	0,3907	1,66	0,4515	2,18	0,4854	3,40	0,49966
0,38	0,1480	0,81	0,2910	1,24	0,3925	1,67	0,4525	2,20	0,4861	3,60	0,499841
0,39	0,1517	0,82	0,2939	1,25	0,3944	1,68	0,4535	2,22	0,4868	3,80	0,499928
0,40	0,1554	0,83	0,2967	1,26	0,3962	1,69	0,4545	2,24	0,4875	4,00	0,499968
0,41	0,1591	0,84	0,2995	1,27	0,3980	1,70	0,4554	2,26	0,4881	4,50	0,499997
0,42	0,1628	0,85	0,3023	1,28	0,3997	1,71	0,4564	2,28	0,4887	5,00	0,499997

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Таблица значений функции Пуассона

m
0	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
1	0,0905	0,1637	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659
2	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
4		0,0001	0,0003	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
5				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
6							0,0001	0,0002	0,0003

m
0	0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000
1	0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
2	0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050	0,0023
3	0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150	0,0076
4	0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
5	0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
6	0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911	0,0631
7	0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
8		0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318	0,1126
9		0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318	0,1251
10			0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
11			0,0002	0,0019	0,0082	0,0213	0,0452	0,0722	0,0970	0,1137
12			0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0728	0,0948
13				0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
14				0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
15					0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
16						0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
17						0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
18							0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
19							0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
20								0,0002	0,0006	0,0019
21								0,0001	0,0003	0,0009
22									0,0001	0,0004
23										0,0002
24										0,0001

ЛИТЕРАТУРА

1) Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. Москва: Высшая школа, 2000.

2) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – 12-е изд., перераб. – М.:Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. – 479 с.

3) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей. –М.: Высш.шк., 2002.

4) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2 ч. – М.:Высш.шк., 2006.

5) Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543с.

6) Луценко А.И. Теория вероятностей: учебник / А.И. Луценко. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 251с. – (Высшее образование).

7) Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 656 с.

8) Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2006. – с.

9) Фадеева Л. Н., Жуков Ю.В., Лебедев А. В. Математика для экономистов: теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. – М.: Эксмо, 2007. – 336 с.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 539; Нарушение авторского права страницы