Построение временных характеристик

Преобразуем по Лапласу уравнения (2.28)

 

 

и получим выражение для изображения вектора состояния

 

 

В этой сумме первое слагаемое — свободное, а второе — вынужденное движения системы. Для получения оригинала — функции времени у(t) выполняется операция обратного преобразования Лапласа. В данном случае выражение для изображения представляет собой матрицу, однако справедлива аналогия со скалярным случаем. Известно, что j оригинал скалярной функции

 

 

имеет вид экспоненты. Оказывается, что аналогичное выражение имеет место и в матричном случае, т. е.

 

 

что является матричной экспонентой, называемой матрицей перехода. Произведению изображений отвечает свертка оригиналов; это справедливо и для матриц. Поэтому вектор состояния как функция времени получается из выражения (2.35) и имеет следующий вид

 

 

Изображение переменной выхода при нулевых начальных условиях v(0) = 0 получится путем подстановки второго слагаемого выражения (2.35) во второе уравнение системы (2.28)

 

 

Если на вход системы подается единичный импульс, т. е. F ( s )=1, то реакция системы (импульсная переходная функция) определяется выражением:

 

 

Сопоставляя полученную формулу с выражением для передаточной функции (2.33), замечаем, что

 

 

Отсюда следует один из способов получения матрицы перехода путем обращения по Лапласу матрицы (sI - А)^-1.

 

Пример 5. Пусть матрица состояний нормальной формы имеет вид

 

 

Характеристическая матрица запишется как

 

 

а ее обращение дает

 

 

Применение обратного преобразования Лапласа к каждому элементу полученной матрицы позволяет получить выражение для матрицы перехода

 

 

Отсюда по формуле (2.37) легко находится функция веса, если известны матрицы выхода и входа:

 

 

Переходная функция h ( t ) является интегралом от функции веса

 

 

Построение временных характеристик по нормальной форме пространства состояний связано с вычислением матричного экспоненциала — матрицы перехода. Выше приведены примеры получения аналитических выражений для элементов путем обратного преобразования Лапласа. Аналитическое выражение для Ф(t) может быть получено по формуле Лагранжа — Сильвестра (J. L. Lagrange — J. Sylvester):

 

 

(случай простых собственных значений s ).

Другим способом численного получения значений матрицы перехода при фиксированных значениях является разложение матричного экспоненциала в степенной ряд

 

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: