Колебательное звено 2-го порядка

 

Примером колебательного звена является электрический колебательный контур (рисунок 2.22), в котором за входной сигнал принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение .

 

Рисунок 2.22 – Колебательный контур

 

Выведем уравнение звена. По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение:

.                                         (2.30)

Ток в цепи определяется током через конденсатор и резистор:

.                            (2.31)

Выполнив подстановку выражения (2.31) в (2.30), получим:

или

.

Для удобства введем обозначения:

, .

В итоге дифференциальное уравнение примет вид:

,                                 (2.32)

где  – собственная частота колебаний;

 – коэффициент затухания, принимающий значения .

Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (2.32)

,

получим выражение для передаточной функции звена:

.

В общем случае передаточная функция колебательного звена 2-го порядка может содержать коэффициент усиления :

.                                                       (2.33)

Частотная характеристика примет вид:

.

 

Перейдем к нормированной переменной и перепишем выражение для частотной характеристики:

.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики звена равны соответственно:

, .

Их графики при различных значениях коэффициента затухания z представлены на рисунке 2.23.

 

                     а) АЧХ                                    б) ФЧХ

Рисунок 2.23 – Частотные характеристики колебательного звена

 

На графике АЧХ звена наблюдается максимум, который соответствует явлению резонанса. Значение резонансной частоты  можно найти из условия

,

что соответствует равенству

.

Таким образом, получим , откуда .

Анализ полученного выражения показывает, что при резонансная частота равна собственной частоте колебаний системы , а при , то есть явление резонанса уже не наблюдается. Таким образом, с увеличением резонансная частота уменьшается, смещаясь влево по оси частот до нуля.

Фазовая характеристика колебательного звена отрицательна, запаздывание по фазе возрастает от 0 до 180°. Наибольшая крутизна кривой наблюдается в окрестности точки , при этом перегиб тем резче, чем меньше значение коэффициента затухания . При  фазовая характеристика соответствует апериодическому звену.

Переходная функция колебательного звена имеет вид:

,

где

Импульсная характеристика, соответственно, равна

.

Временные характеристики колебательного звена 2-го порядка представлены на рисунке 2.24.

 

       а) переходная функция     б) импульсная характеристика

Рисунок 2.24 – Временные характеристики колебательного звена

 

В данном случае наблюдаются колебательные переходные процессы с частотой , отличающейся от собственной частоты колебаний системы  при , и амплитудой колебаний, убывающей пропорционально функции . С ростом значения  колебательность переходных процессов будет уменьшаться, исчезая совсем при .

Частным случаем колебательного звена 2-го порядка является консервативное звено, для которого коэффициент затухания  и, следовательно, передаточная функция принимает вид:

.

Переходная функция такого звена представляет собой незатухающие колебания.

Еще одним частным случаем звена, описываемого уравнением (2.32), является звено при коэффициенте затухания , что соответствует двум действительным полюсам передаточной функции. Такое звено уже не является колебательным, для которого полюса передаточной функции образуют комплексно-сопряженную пару. Оно называется инерционным (апериодическим) звеном 2-го порядка и может быть заменено в структурной схеме двумя последовательно соединенными апериодическими звеньями 1-го порядка. Передаточная функция инерционного звена 2-го порядка может быть представлена в виде:

,

где  – постоянные времени апериодических звеньев 1-го порядка.

Переходная функция для рассматриваемого звена представлена на рисунке 2.25.

Рисунок 2.25 – Переходная функция инерционного звена 2-го порядка

 

Как видно из графика, переходная функция качественно отличается от аналогичной характеристики колебательного звена (см. рисунок 2.23а) и практически совпадает с характеристикой инерционного звена 1-го порядка (см. рисунок 2.23а), за исключением начала переходного процесса (вблизи момента ).

Последнее обстоятельство позволяет утверждать, что математическое описание апериодического звена 2-го порядка может быть приближенно заменено моделью апериодического звена 1-го порядка с запаздыванием (рисунок 2.26).

Рисунок 2.26 – Переходная функция инерционного звена 1-го порядка с запаздыванием

Передаточная функция звена 1-го порядка с запаздыванием при этом принимает вид:

,

где  – время запаздывания, определяемое по точке перегиба функ-ции ;

 – наибольшая из постоянных времени звеньев 1-го порядка.

 

2.6  Контрольные вопросы

1. Что называют математической моделью объекта управления?

2. Перечислите этапы решения дифференциальных уравнений операторным методом Лапласа.

3. Какие характеристики САУ относятся к временным?

4. Поясните физический смысл амплитудной и фазовой частотных характеристик линейных САУ.

5. Перечислите типовые звенья САУ и укажите, чем определяются их свойства.

Литература

1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с.

2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с.

3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с.

4. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с.

5. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с.

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: