Устойчивость и установившаяся погрешность

 

К системе автоматического управления прежде всего предъявляются требования устойчивости ее переходного процесса, но не менее важным является требование к ее точности, то есть к малому значению ошибки в установившемся режиме. Эти два требования находятся в тесной связи друг с другом.

Для иллюстрации сказанного проанализируем работу системы автоматического управления, передаточная функция которой имеет вид

.

Подадим на вход системы единичный ступенчатый сигнал  и рассчитаем значение ошибки  в установившемся состоянии по соотношению

.

Для определения выходного сигнала воспользуемся теоремой о конечных значениях (п. 2.3):

откуда окончательно получим

.                                                                             (3.8)

Из формулы (3.8) видно, что для уменьшения установившейся ошибки необходимо сделать коэффициент усиления системы  как можно большим. Например, чтобы получить , требуется выбрать . 

Для оценки устойчивости системы запишем его характеристическое уравнение:

и выпишем коэффициенты:

; ; ; .

Условие устойчивости системы 3-го порядка имеет вид

,

откуда получим неравенство .

Это означает, что для рассматриваемой системы предельный коэффициент усиления принимает значение , превышение которого однозначно приведет к потере устойчивости системы.

Таким образом, существует конфликт между требованием устойчивости и высокой точности рассматриваемой системы. Разрешение этого конфликта – одна из основных задач при конструировании САУ. В рассмотренном примере проблему можно устранить путем разнесения постоянных времени отдельных звеньев  за счет введения корректирующих или дополнительных звеньев (раздел 4).

Структурная устойчивость

 

Пусть какая-либо система задана своей структурной схемой, то есть известно, из каких звеньев она состоит и какого рода связи осуществляются между звеньями. Совокупность положительных числовых значений всех постоянных времени и иных коэффициентов, которые необходимо знать для получения коэффициентов характеристического уравнения, носит название параметров системы. Изменение отличных от нуля параметров системы не вызывает изменения ее структурной схемы.

В ряде случаев оказывается, что система неустойчива при любых значениях своих параметров, и добиться ее устойчивости можно только путем изменения структурной схемы. Такие системы называют структурно неустойчивыми, в отличие от структурно устойчивых систем, которые могут быть сделаны устойчивыми простым выбором соответствующих параметров.

Таким образом, САУ может быть неустойчива по двум причинам: либо неподходящий состав динамических звеньев (структурно неустойчивая САУ), либо неподходящие значения параметров звеньев (структурно устойчивая САУ). Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья или с помощью местных обратных связей.

Основные результаты по структурной устойчивости линейных систем были получены М.А. Айзерманом и сформулированы им в виде двух теорем.

Для их рассмотрения введем понятия оператора воздействия и собственного оператора системы. Вспомним, что в общем виде передаточная функция любой системы может быть представлена в виде отношения двух полиномов (п. 2.4.1):

или

,

где  – оператор воздействия системы;

 – собственный оператор системы.

С другой стороны, известно, что передаточная функция определяется через изображения Лапласа выходного и входного сигналов системы по формуле

.

Поэтому справедливым оказывается соотношение

,

откуда ясен смысл названия операторов  и .

Первая теорема Айзермана сформулирована для замкнутых систем -го порядка, характеристическое уравнение которых имеет вид

,

где ;

;

   – постоянные коэффициенты усиления отдельных звеньев системы;

 – собственные операторы звеньев.

Теорема Айзермана гласит, что для структурной устойчивости рассматриваемых систем необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств:

                                                                                   (3.9)

где  – количество интегрирующих звеньев;

   – количество неустойчивых инерционных звеньев;

   – количество консервативных звеньев.

Таким образом, система не должна одновременно содержать более одного интегрирующего и одного неустойчивого звеньев. Кроме того, для системы с одним консервативным звеном можно добиться устойчивости лишь в том случае, когда ее порядок выше 4, с двумя консервативными звеньями – выше 8 и т.д.

Второе из неравенств (3.9) выполняется практически всегда, поскольку число консервативных звеньев мало. Чаще всего они отсутствуют.

Вторая теорема Айзермана сформулирована для замкнутых систем -го порядка, характеристическое уравнение которых имеет вид

,

где ;

;

   – операторы воздействия отдельных звеньев системы.

Звено с передаточной функцией вида  носит название идеального форсирующего (упреждающего) звена, или звена с воздействием по 1-й производной.

Основной вывод из 2-й теоремы Айзермана состоит в том, что наличие в системе звеньев с воздействием по производной облегчает достижение ее структурной устойчивости.

 

3.10 Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте необходимое и достаточное условия устойчивости линейной САУ.

2. Поясните способ получения характеристического уравнения системы.

3. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости линейной САУ.

4. Как оценить устойчивость замкнутой системы без графического построения годографа разомкнутой системы?

5. В чем отличия между структурно устойчивой и структурно неустойчивой системами?

Литература

1. Шишмарев, В.Ю. Основы автоматического управления: учебное пособие / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2008. – 348 с.

2. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с.

3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 767 с.

4. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М.: Высшая школа, 1971. – 807 с.

5. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. – Л.: Энергия, 1975. – 416 с.

 

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: