УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Понятие об устойчивости системы

 

Основное условие нормального функционирования системы автоматического управления состоит в требовании устойчивости ее переходного процесса. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Типичные кривые переходных процессов в устойчивой и неустойчивой системах представлены на рисунках 3.1, 3.2.

 

    а) апериодический режим               б) колебательный режим

Рисунок 3.1 – Переходные процессы в устойчивых системах

 

  

         а) колебательный режим         б) апериодический режим

Рисунок 3.2 – Переходные процессы в неустойчивых системах

 

В случае устойчивой системы переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает (апериодически или колебательно), и система возвращается в установившееся состояние.

Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс (апериодический или колебательный) выхода из исходного установившегося состояния. Неустойчивость САУ недопустима, поскольку не позволяет удовлетворительно управлять регулируемым параметром. Кроме того, неустойчивый режим часто оказывается опасным, так как может привести к преждевременному износу или повреждению системы.

 

Необходимое и достаточное условия устойчивости

Линейной системы

                    

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Для этого обратимся к уравнению движения линейной системы n-го порядка:

,                                           (3.1)

где  – входной и выходной сигналы системы соответственно;

 – постоянные величины.

Уравнению (3.1) соответствует передаточная функция вида:

.                                              (3.2)

Решение неоднородного уравнения (3.1) состоит из двух слагаемых – частного решения  неоднородного уравнения и общего решения  однородного уравнения:

.                                 (3.3)

Решение уравнения (3.3) носит название собственного решения уравнения (3.1), и именно оно определяет устойчивость линейной системы в целом.

Таким образом, устойчивость линейной системы является ее внутренним свойством, не зависящим от внешних воздействий.

Общее решение однородного уравнения (3.3) имеет вид:

,                                                                    (3.4)

где  – постоянные величины, определяемые из начальных условий;    

 – корни соответствующего характеристического уравнения

,                                                        (3.5)

которое может быть получено путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции системы (3.2).

В общем случае корни  являются комплексными, образуя сопряженные пары:

.

Соответствующее корню  слагаемое в выражении (3.4) имеет вид:

.

Данная составляющая соответствует гармоническому колебанию с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненциальному закону. При этом, если , составляющая будет затухать, то есть  при . Наоборот, при  будут наблюдаться расходящиеся колебания. Если , что соответствует чисто мнимым корням, колебания будут незатухающими.

В частном случае действительного корня  соответствующая ему составляющая переходного процесса представляет собой экспоненту, которая будет затухать или возрастать также в зависимости от знака .

Таким образом, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряженных корней, а каждая апериодическая – действительному корню. Но независимо от типа корней необходимым и достаточным условием затухания переходного процесса в целом, а значит, и устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, то есть всех полюсов ее передаточной функции.

Наличие пары чисто мнимых корней  соответствует граничному случаю между устойчивостью и неустойчивостью – система при этом находится на границе устойчивости. Такой режим так же неработоспособен, как и неустойчивый.

Необходимым условием устойчивости системы является строгая положительность коэффициентов характеристического уравнения (при условии, что , чего всегда можно добиться умножением уравнения на минус ). Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения будет отрицателен или равен нулю, система однозначно будет являться неустойчивой. Однако положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости этой системы. Необходимое условие устойчивости является и достаточным условием только для систем 1-го и
2-го порядков. Уже для систем 3-го порядка оно недостаточно.

Для суждения об устойчивости системы нет необходимости каждый раз находить корни ее характеристического уравнения. Это связано с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней, а тем самым и об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти признаки называют критериями устойчивости.

Существуют три основных критерия устойчивости: алгебраический критерий Рауса–Гурвица и частотные критерии Найквиста и Михайлова.

 

3.3 Критерий устойчивости Рауса–Гурвица

 

Английским математиком Е. Раусом и швейцарским математиком А. Гурвицем в конце XIX века были предложены правила, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости системы.

По критерию Рауса–Гурвица условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты характеристического уравнения (3.5) рассматриваемой системы -го порядка. Для этого строится матрица Гурвица, содержащая  строк и
 столбцов:

.                                                                 (3.6)

В первый столбец матрицы вписываются все нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с , после чего столбец заполняется нулями до положенного числа  элементов. Затем каждая строка матрицы дописывается последовательно коэффициентами с убывающими номерами вплоть до , после чего оставшиеся элементы вновь заполняются нулями.

Критерий устойчивости Рауса–Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы рассматриваемая система -го порядка являлась устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица до -го порядка включительно были строго положительны.

Минор 1-го порядка совпадает с коэффициентом : .

Строгая положительность минора 2-го порядка определяет условие устойчивости системы 3-го порядка:

.

Минор 3-го порядка имеет вид:

.

Очевидно, что условия устойчивости, вытекающие из критерия Рауса–Гурвица, усложняются с ростом порядка системы. Поэтому данный критерий применяют только для систем невысокого порядка, как правило, не выше четвертого.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: