Критерий устойчивости Михайлова

 

Графический критерий, предложенный в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым, позволяет оценивать устойчивость замкнутой системы на основании годографа функции, полученной по виду характеристического уравнения

.

Обозначим левую часть этого уравнения через  и перейдем к частотной переменной, осуществив замену . В результате получим комплексную функцию

,                                                           (3.7)

где  – действительная часть, полученная из членов , содержащих четные степени ;

   – мнимая часть, полученная из членов  с нечетными степенями .

Изображение функции (3.7) в комплексной плоскости при изменении частоты  в пределах  носит название годографа Михайлова.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы n -го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на положительной полуоси, последовательно проходил в положительном направлении (против часовой стрелки) квадрантов комплексной плоскости.

Годограф Михайлова для различных типов систем представлен на рисунке 3.5.

 

а) устойчивые системы       б) неустойчивая система

Рисунок 3.5 – Годограф Михайлова

 

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (рису-
нок 3.6).

 

Рисунок 3.6 – Система на границе устойчивости

 

Следствием из критерия Михайлова является утверждение, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни действительной  и мнимой  частей функции  чередовались с ростом частоты, начиная с , а их общее число было равно порядку системы.

 

Предельный коэффициент усиления

 

Построение годографа Михайлова осуществляется по виду левой части характеристического уравнения замкнутой системы, величина свободного коэффициента  которого определяет начальную точку годографа при значении . В этот свободный коэффициент всегда входит коэффициент усиления системы .

При увеличении значения соответствующим образом увеличивается абсцисса каждой точки годографа Михайлова и вся кривая смещается вправо. При некотором значении  годограф может переместиться настолько, что пройдет через начало координат, и условие устойчивости системы будет нарушено.

Значение коэффициента усиления системы, при котором она находится на границе устойчивости, называют предельным (критическим) коэффициентом усиления . При уменьшении коэффициента усиления неустойчивой системы до величины, меньшей предельного значения, система становится устойчивой.

Запас устойчивости

 

В условиях эксплуатации параметры системы автоматического управления могут изменяться в определенных пределах по различным причинам, например, вследствие старения, температурных колебаний и т.п. Колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости.

Совокупность значений параметров системы, при которых система остается устойчивой, называют областью устойчивости системы. Совокупность значений параметров, при которых совершается переход из области устойчивости в область неустойчивости, и наоборот, называют границей области устойчивости.

При проектировании системы управления необходимо не только обеспечить ее устойчивость, но и выбрать ее параметры достаточно далеко от границы области устойчивости. Для суждения о степени близости системы к границе области устойчивости используют понятие запаса устойчивости.

В случае применения критерия Рауса–Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании частотных критериев запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости.

Для критерия Найквиста это – удаленность годографа разомкнутой системы от точки с координатами , а для критерия Михайлова – удаленность годографа замкнутой системы от начала координат.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости применительно к критерию Найквиста получили две величины – запас устойчивости по амплитуде (по коэффициенту усиления)  и запас устойчивости по фазе .

Запас устойчивости по амплитуде определяется расстоянием  от критической точки с координатами  до точки пересечения годографом оси абсцисс (рисунок 3.7). Этот параметр гарантирует сохранение устойчивости замкнутой системы, несмотря на непредвиденные изменения коэффициента усиления разомкнутой системы.

Запас устойчивости по фазе определяется углом  между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с окружностью единичного радиуса (см. рисунок 3.7). Он гарантирует сохранение устойчивости, несмотря на наличие, например, «паразитных» запаздываний, которые не учтены в системе.

Рисунок 3.7 – Запас устойчивости по амплитуде  и по фазе

 

При проектировании САУ рекомендуется выбирать  и дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу устойчивости по коэффициенту усиления (относительно его предельного значения).

 

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: