Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Частные производные.

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем значение одного из её аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке : 

                                                                                      (4.2)

Эта производная называется частной производной первого порядка функции  по  в точке  и обозначается .

Разность, стоящая в числителе (4.2), называется частным приращением по  функции   в точке  и обозначается :

.                                                                                  (4.3)

С помощью этих обозначений можно записать

=                                                                                                  (4.4)

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции  по  и частная производная по  в точке :

                                                                                   (4.3’)

                                                                                                   (4.4’)

Таким образом, частная производная первого порядка функции двух переменных по одному из её аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Значение частной производной зависит от точки , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных  является функцией точки , т.е. также является функцией двух переменных  и .

Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются:

,      или , ,  или , .

Частные приращения и частные производные функции  переменных при  определяются и обозначаются аналогично. Так для функции трёх переменных  частное приращение по  в точке  получится, если  получит приращение , а остальные аргументы останутся неизменными:

.                                                                        (4.5)

Частная производная функции  по аргументу  в точке  равна

.                                                                                              (4.6)

Мы видим, что частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Поэтому все правила и формулы нахождения производных функции одной переменной сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример 4.10. Найти частные производные первого порядка функции .

Решение. Частную производную  находим, как производную функции  по аргументу  в предположении, что .

.

Аналогично

.

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции.

Таким образом, функция  двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

;        ;                                          (4.7)

;     .                             (4.8)

Частные производные второго порядка типа (4.7) называются повторными частными производными второго порядка, а типа (4.8) – смешанными частными производными второго порядка.

Функция  трёх переменных имеет девять частных производных второго порядка:

;     ;   ;  и т.д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных. Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной -го порядка той же функции.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Пример 4.119. Найти все частные производные второго порядка от функции, заданной в примере 4.10.

Решение. Воспользуемся результатом, полученным в примере 4.8. Найдём сначала повторные частные производные второго порядка:

;

.

Затем найдём смешанные частные производные второго порядка:

;

.

Видно, что смешанные частные производные данной функции  и , отличающиеся между собой лишь порядком нахождения производной, оказались одинаковыми. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую приведём без доказательства.

Теорема 4.3. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком нахождения производных, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных  имеем:

.                                                                                                              (4.9)

Производная по направлению.

Для описания свойств скалярного поля вводится производная скалярного поля в точке Р по произвольному направлению. Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля . Рассмотрим точку  этого поля и луч, выходящий из точки Р в направлении вектора .

Пусть  - какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции u скалярного поля в точках  и Р назовем приращением этой функции в направлении  и обозначим .

.

Обозначим через  расстояние между точками Р и : .

Определение. Производной функции  в точке Р по направлению  называется предел , эта производная обозначается , т.е.

                                                                                                            (4.27)

Если производная функции u в точке  по направлению  положительна, то функция u в этом направлении возрастает; если же , то функция u в направлении  убывает. Производная по направлению дает скорость изменения функции u в этом направлении.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Приращения ,  и  координат точки Р связаны с длиной отрезка  и направляющими косинусами , ,  вектора  соотношениями (рис. 4.9.)

; ; .                                                            (4.28)

Так как функция u по условию дифференцируема, то ее приращение  в точке  можно представить в виде (формула (4.15)):

,                                           (4.29)

причем  стремится к нулю быстрее, чем , т.е. .

Рис. 4.9.

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора , то , , а ,  и  выражаются по формулам (4.28). Тогда равенство (4.29) примет вид

.

Разделим обе части этого равенства на  и перейдем к пределу при :

.

Но , ,  и направляющие косинусы , ,  не зависят от , и так как , то получаем окончательную формулу

                                    (4.30)

Из формулы (4.30) следует, что если вектор совпадает с направлением одной из координатных осей, то производная u по направлению  совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Например, если  сонаправлен с осью Ox, то , ,  и, следовательно,

.

Пример 4.23. Найти производную функции  в точке  в направлении вектора . Установить характер изменения функции в этой точке.

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора . Если вектор  имеет координаты , , , то направляющие косинусы этого вектора находятся по формулам

; ; .                                                                       (4.31)

В нашем случае , тогда

, , .

Найдем частные производные функции  и вычислим их значения в точке

,

,

.

Тогда производная по направлению может быть вычислена по формуле (4.30):

.

Поскольку , то функция в данном направлении возрастает.

Если скалярное поле – плоское, то функция поля зависит от двух переменных: . Вектор  в этом случае лежит в плоскости Oxy (т.е. ) и формула (4.30) в этом случае имеет вид:

Но, из рис. 4.10 видно, что . Получаем окончательно:

.                                                                             (4.32)

Рис. 4.10.

Пример 4.24. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора , если точка  имеет координаты (–2;6). Установить характер изменения функции в этом направлении.

Решение. Сначала найдем направляющие косинусы вектора :

, , , .

Найдем частные производные функции z в точке

;

Производную по направлению вычислим по формуле (4.32)

.

Поскольку , то функция в данном направлении убывает.

Градиент скалярного поля.

При изучении скалярных полей важную роль играет вектор, тесно связанный с функцией скалярного поля – градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом в точке  скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого – соответствующие частные производные функции , вычисленные в точке Р. Градиент обозначается одним из символов , , . Следовательно, по определению

                                                      (4.33)

или кратко           .                                                                  (4.33’)

Теорема 4.7. Производная функции  по направлению вектора  равна проекции градиента этой функции на вектор :

.                                                                                                            (4.34)

Доказательство. Из векторной алгебры известно, что проекция вектора  на вектор  находится по формуле

.

Найдем проекцию градиента функции  на вектор :

,

здесь использованы формулы для направляющих косинусов вектора :

, , .

Теорема и формула (4.30) доказана.

Пример 4.36. Найти производную функции  в точке  по направлению, идущему из точки  в точку .

Решение. Найдем градиент скалярного поля u в точке .

,

,

Таким образом . Вектор .

.

Производную по направлению находим по формуле (4.34)

Выше мы отмечали, что производная по направлению  выражает скорость изменения скалярного поля  в этом направлении. Поэтому можно сказать, что проекция градиента скалярного поля на вектор  равна скорости изменения поля в направлении вектора .

Обозначим через  угол между вектором  и  u. Тогда

. Поэтому, на основании формулы (4.34)

.                                                                                                       (4.35)

Если направление векторов  и  u совпадает ( ), то производная по направлению  имеет наибольшее значение, равное . Мы получили важное свойство градиента:  grad u  есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке, причем скорость этого возрастания равна модулю градиента.

Важным свойством градиента является взаимное расположение  grad u  в данной точке  и поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Можно доказать, что если скалярное поле задано дифференцируемой функцией , то все касательные, проведенные в точке  к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку , расположены в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности уровня, проведенной через точку .

Так же без доказательства приведем теорему о том, что, если вектор градиента не равен нулю в точке , то он перпендикулярен к касательной плоскости, проведенной к поверхности уровня через точку .

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

grad  .                                                                       (4.36)

Его связь с производной по направлению  выражается равенством

 z, или ,                                                                       (4.37)

где  - угол между вектором  и grad z. Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией , то вектор grad  перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Примеры решения задач на тему: приложения частных производных..

Пример 4.38. Найти наибольшую скорость возрастания функции трёх переменных  в точке .

Решение. Наибольшая скорость изменения функции в данной точке определяется по формуле:

.

Частные производные функции в точке  равны:

;                                        ;

                            .  

Поэтому . Тогда максимальная скорость возрастания функции равна

.

Пример 4.39. Найти угол  между градиентами функций  и  в точке .

Решение. Градиент является векторной величиной. Угол между двумя векторами проще всего найти, используя скалярное произведение двух векторов. Поэтому следует найти градиенты заданных функций и воспользоваться известной из курса аналитической геометрии формулой

.

Частные производные функции  в заданной точке равны:

;           ;                .

Следовательно, .

Частные производные функции  в заданной точке равны

;     

;    

Следовательно,

Тогда их скалярное произведение равно

Это означает, что градиенты заданных функций перпендикулярны.

                                              .

Пример 4.40. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности конуса  в точке .

Решение. Уравнение конуса можно записать в виде:

.

Найдем координаты градиента к функции

; ; .

В качестве нормального вектора к касательной плоскости возьмем градиент функции  в точке .

.

Тогда уравнение касательной плоскости запишется в виде

,

или

; ;      .

Уравнение нормали запишется в виде

.

Пример 4.41. Найти уравнение касательной плоскости к эллипсоиду , которая параллельна плоскости .

Решение. Запишем уравнение эллипсоида в виде .

Найдем градиент функции .

;   ; ;         .

Градиент функции  в точке касания  перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно он коллинеарен нормальному вектору заданной плоскости , т.е.  (условие коллинеарности двух векторов).

Запишем условие коллинеарности через координаты:

,

откуда

;     ; .

Подставим полученные выражения для координат точки касания  в уравнение эллипсоида: .

Преобразовав полученное уравнение, получим ,   .

Мы получили два значения для , а следовательно, две точки касания. Это означает, что существуют две плоскости, касательные к эллипсоиду и параллельные заданной плоскости.

Первая точка касания  получится при :

; , .

В качестве нормального вектора к касательной плоскости возьмем нормаль заданной плоскости . Тогда уравнение касательной плоскости будет

,

или 

.

Вторую точку касания  найдем при :

; ,        .

Аналогично получим уравнение второй касательной плоскости

или

.

В качестве ответа запишем найденные точки касания и соответствующие касательные плоскости

,    .

, .

Пример 4.42. Исследовать на экстремум функции двух переменных

.

Решение. Найдём частные производные первого порядка

;      .

Приравнивая их к нулю, получим систему для определения стационарных точек

Имеем единственную стационарную точку (точку возможного экстремума) . Найдём частные производные второго порядка:

                               

поэтому всюду в области, в том числе и в стационарной точке

        

Здесь  и , значит,  является точкой минимума данной функции. При этом

Пример 4.43. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдём частные производные первого порядка

               

Найдём стационарные точки, решая систему уравнений

.

Заданная функция имеет четыре стационарные точки

                          

Найдём частные производные второго порядка

    ,    .

Определим знак  в каждой из стационарных точек

1) Точка

             

Так как то в точке  существует экстремум. Поскольку  то точка минимума

2) Точка

              .

В точке  также  т.е. существует экстремум. Однако здесь  поэтому - точка максимума.

3) Точка :

             .

Так как , то в точке  экстремума нет.

4) Точка :

           

Экстремума в точке   нет.

Теперь вычислим значения заданной функции в точках экстремума  и

Пример 4.44. Исследовать на экстремум функцию

                                

Решение. Найдём частные производные первого порядка

   

Для нахождения стационарных точек нужно решить систему уравнений

                                                      (4.50)

Левые части уравнений системы являются однородными многочленами второго порядка относительно  и  (каждое слагаемое имеет второй порядок относительно  и ). Чтобы решить систему умножим каждое из уравнений на такое число, чтобы при сложении уравнений друг с другом свободный член обращался в нуль. Для этого первое уравнение умножим на -4, а второе на 3.

Складывая уравнения, получим

Замечаем, что  не является решением исходной системы уравнений, поэтому можно обе части полученного уравнения поделить на  и ввести новое переменное

Полученное квадратное уравнение имеет корни .

1) Пусть  или , . Подставим в первое уравнение системы (4.50); получим

.

Получили две точки  и

2) Теперь рассмотрим  или .

Снова подставляем в первое уравнение системы (4.50):

Умножим обе части уравнения на  и вынесем в левой части уравнения  за скобки

Проведя расчёт, получим .

Учитывая, что   получаем ещё две стационарные точки .

Найдём частные производные второго порядка

                 

Определим знак  в каждой из стационарных точек

1. Точка .

   ;

;     .

Так как , то в точке  существует экстремум. Поскольку , то - точка максимума.

2. Точка .

   

  

В точке  также , т.е. существует экстремум. Однако здесь , поэтому - точка минимума.

3. Точка

    

  .

Так как , то в точке  экстремума нет.

4. Точка

 

   .

Экстремума в точке  нет.

Вычислим значения исследуемой функции в точках экстремума  и

.

Пример 4.45. Исследовать на экстремум функцию  при условии .

Решение. Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа , где  - уравнение связи. В нашем случае  и функция Лагранжа будет иметь следующий вид

Найдем частные производные от функции Лагранжа ; .

Для нахождения стационарных точек условного экстремума нужно решить систему уравнений

Из первых двух уравнений получаем , . Подставим выражение  и  через  в уравнение связи:

; ; ; ; .

Мы получили две стационарные точки

1) , , ;

2) , , .

Теперь используем достаточное условие условного экстремума (теорема 4.11). Вычислим значение определителя (4.50) в каждой из стационарных точек. Для этого найдем частные производные

; ;

; ; .

Тогда определитель (4.50) будет равен

.

В точке , следовательно функция в этой точке имеет условный минимум. В точке  и функция в этой точке имеет условный максимум.

В заключение вычислим значения функции в точках условного экстремума:

.

Пример 4.46. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , ; .

Решение. Представим указанную область графически (рис. 4.13). Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе.

Рис. 4.13.

1. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные

 и

должны обращаться в нуль. Найдем стационарные точки, решая систему:

.

Имеем одну точку , которая находится внутри заданной области. В точке  значение функции равно:

.

2. Перейдем к исследованию функции на границах области.

(а) На отрезке : , , .

Задача сводится к отысканию стационарной точки функции одного аргумента на отрезке . Находим производную . Решаем уравнение

; .

На отрезке  находится одна стационарная точка . Находим значение функции  в этой точке .

(б) На отрезке : , ,

Находим .  при . Получили стационарную точку  на отрезке . Значение функции  в этой точке .

(в) На отрезке :  или , где .

И в этом случае получаем функцию одной переменной .

Ее исследование на экстремум дает

,   тогда .

Таким образом, на отрезке  имеем стационарную точку . Значение функции  в точке  равно .

3. Вычислим значение функции  в точках пересечения границ , , . В точке  расчет уже произведен.

; .

Из всех полученных нами значений функции в стационарных точках ; ; ;  и в точках пересечения границ области ,  выбираем наибольшее и наименьшее

,

.

Пример 4.47. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , .

Решение. 1. Для отыскания стационарных точек заданной функции нужно решить систему

Так как частные производные заданной функции в нуль не обращаются, то функция стационарных точек не имеет.

Рис. 4.14.

2. Исследуем функцию на границах области (рис. 4.14).

(а) На отрезке : ; .

.

Так как на прямой  производная в нуль не обращается, функция не имеет на этой прямой стационарных точек.

(б) Для исследования функции на окружности  используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

.

Для нахождения стационарных точек необходимо решить систему уравнений

Из первых двух уравнений найдем ,  и подставим в третье уравнение

.

Откуда . Получили две стационарные точки на окружности. При  находим , . Точка  не принадлежит заданной области (рис. 4.14).

Значению  соответствуют , . Точка  принадлежит заданной области. Вычислим значение функции  в этой точке

.

3. Вычислим значения функции в точках пересечения границ  и :

В точке .

В точке .

Мы нашли одну стационарную точку ,  и вычислили функцию в двух «угловых» точках , . Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее, получаем ответ

.

.

Задачи для самостоятельного решения.

4.24. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора .

4.25. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора , где .

4.26. Найти производную функции  в точке  в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в ,  и .

4.27. Найти градиент функции  в точке .

4.28. Найти наибольшую скорость возрастания функции  в точке .

4.29. Даны две функции  и . Найти косинус угла между градиентами этих функций в точке .

В данной точке  найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям:

4.30. , .

4.31.  (однополостной гиперболоид), .

4.32.  (сфера) в точке , где , .

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности , параллельной плоскости .

4.33. : , : .

4.34. : , : .

Исследовать на экстремум функции.

4.35. .

4.36. .

4.37. .

4.38. .

4.39. .

4.40. .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в заданной области .

4.41. . : , , .

4.42. . : , .

4.43. . : , .

4.44. . : .

4.45. : , , .

 

Ответы.

.

Глава 4.

4.1. , . 4.2. , . 4.3. , . 4.4. , . 4.5. , . 4.6. , . 4.7. ; . 4.8. , . 4.9. ; . 4.10. ; . 4.11. ; ; . 4.12. . 4.13. . 4.14. . 4.15. . 4.16. = 0,01. 4.17. = –0,016. 4.18. ; ; . 4.19. . 4.20. . 4.21. ; . 4.22. , . 4.23. . 4.24. . 4.25. , . 4.26. . 4.27. . 4.28. . 4.29. . 4.30. , . 4.31. , . 4.32. , . 4.33. Две точки касания. , ; , . 4.34. Точка касания , . 4.35. . 4.36. Экстремумов нет. 4.37. . 4.38. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.39. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.40. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.41. , . 4.42. , . 4.43. , . 4.44. , . 4.45. , .

 

Библиографический список

 

Для более глубокого овладения курсом может быть рекомендована следующая литература:

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х т.– 3-е изд., перераб. –М.: Физматлит, 2005.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х т. – 7-е изд. – М.: Физматлит, 2005.

3. Шипачев В.С., Курс высшей математики. Тома 1 и 2. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981-1982.

4. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. В двух частях. – М. Физматлит, 2008.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов. Под общ. ред. А. В. Ефимова и А С. Поспелова» –3-е изд. перераб. и доп. –М.: Физматлит, 2003.

 

 

Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

4.1 Функции нескольких переменных.

В главе 1 было введено понятие функции одной переменной(п.1.3). Аналогично определяется понятие функции двух переменных.

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел ( )  M соответствует единственное число z L. При этом x и y называются независимыми переменными (или аргументами), z – зависимой переменной, множество M – областью определения   функции, а L – множеством значений функции. Как и в случае функции одной переменной, зависимую переменную также называют функцией.

Обозначение функции двух переменных аналогично обозначениям функций одной переменной: = ( ), = ( ), = ( )  и т.д.

Так как каждой паре чисел ( ) соответствует единственная точка ( ) плоскости  и обратно, каждой точке ( ) соответствует единственная пара чисел ( ), то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки ( ). Поэтому вместо записи ( ) можно записывать ( ). В этом случае областью определения функции является некоторое множество точек плоскости .

 При нахождении частного значения  функции = (x, y), которое она принимает при заданных численных значениях аргументов = ₀ и = ₀ пишут = ( ₀, ) или .

Пример 4.1. Площадь  прямоугольника со сторонами  и  находится по формуле      z = xy. Эта формула определяет функцию двух переменных. Областью определения M этой функции является множество всех пар положительных чисел ( ). На плоскости  областью определения функции  z = xy  является множество точек первой четверти, так как только для этих точек обе координаты положительны (рис. 4.1). Частное значение функции при =2 и =3 равно = (2; 3) = 2×3 = 6.

Рис. 4.1.

Так же как и в случае функции одной переменной способы задания функции двух переменных могут быть различными. Самым важным в нашем курсе является аналитический способ задания, когда функция задаётся с помощью аналитического выражения (с помощью формулы). В примере 4.1 функция задавалась аналитически, причём область её определения находилось из геометрических соображений.

Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий (геометрического или физического порядка), то областью ее определения принято считать множество всяких таких точек плоскости O xy, для которых это выражение имеет смысл и даёт действительное значение функции.

Например, многочлен первой степени = , многочлен второй степени =  и т.д. определены для всех пар чисел ( ), т.е. на всей плоскости .

Рациональная функция двух переменных, т.е. отношение двух многочленов относительно  и , определена во всех точках плоскости , за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Так, рациональная функция =  определена на всей плоскости , за исключением точек прямой =0.

Пример 4.2. Найти область определения функции = (4 – ).

Решение. Функция задана только с помощью формулы. Областью определения этой функции является множество всех тех точек, для которых выражение (4 – ) определено, т.е. множество точек, для которых  4 –  >0,  или <4. Так как выражение представляет собой квадрат расстояния точки ( ) от начала координат, то в область определения данной функции войдут только те точки, расстояние которых от начала координат меньше двух. Множество всех таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом  R = 2 (рис.4.2).

 

Рис. 4.2.

График функции одной переменной = ( ) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости есть, вообще говоря, линия. Графиком функции  двух переменных = ( ) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.

Действительно, пусть функция = ( ) определена в области  (рис.4.3). Каждой точке ( ) этой области соответствует определённое значение функции = . Примем это значение z за аппликату некоторой точки M в системе координат . Абсциссой и ординатой этой точки будут координаты точки . (Это означает, что точка  является проекцией точки на плоскость ).

Рис. 4.3.

Таким образом, каждой точке области соответствует точка в пространстве, а всей области – некоторое множество точек , образующее, вообще говоря, поверхность. Эта поверхность и называется графиком функции = ( ).

Рис. 4.4.

Пример 4.3. Графиком функции =  является полусфера – верхняя часть сферы. (рис. 4.4). Область определения определяется из условия 1– 0 или . Множество таких точек образует внутренность круга с его границей (центр круга в начале координат, радиус равен единице).

Пример 4.4. График функции =  представляет собой эллиптический параболоид (рис. 4.5). Область определения этой функции – вся плоскость Oxy.

Рис. 4.5.

На практике кроме функций двух переменных встречаются функции трёх и более числа переменных. Например, объём V прямоугольного параллелепипеда зависит от трёх величин – длины x и ширины y его основания и высоты z параллелепипеда, т.е. V = .

Пусть M – некоторое множество троек действительных чисел (x, y, z), а L – некоторое множество действительных чисел. Функцией трёх переменных называется правило, по которому каждой тройке чисел ( ) M соответствует единственное число  u  L.

При этом называются независимыми переменными (или аргументами), u – зависимой переменной, или функцией, множество M – областью определения функции, а L – множеством значений функции.

Функции трёх переменных обозначаются: u = f( ), w = w( ) и т.д. Её можно рассматривать как функцию точки P( ), имеющей координаты  в пространственной системе координат . Поэтому мы будем говорить, что область определения функции  есть некоторое множество точек в пространстве.

Существуют различные способы задания функций трёх переменных , но важнейшим в нашем курсе будет аналитический способ задания, когда функция задаётся с помощью аналитического выражения (формулы). Если при этом область определения специально не указывается, то под областью определения понимается множество всех тех точек  пространства, для которых это выражение имеет смысл.

Пример 4.5. Найти область определения функции .

Решение. Данное выражение определено при условии, когда  или . Следовательно, областью определения функции является шар радиуса 5 с центром в начале координат. Точки граничной шаровой поверхности относятся к области определения функции.

Аналогично вводится понятие функций четырёх, пяти и вообще n переменных. Областью определения функций n переменных является некоторое множество M, состоящее из систем действительных чисел ( . Обозначения функции n переменных аналогичны обозначениям функций двух и трёх переменных: . Для того, чтобы сохранить удобную геометрическую терминологию, функцию n переменных при n >3 также часто рассматривают как функцию точки  n - мерного пространства.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: