Производная по направлению.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 13Следующая ⇒

Для описания свойств скалярного поля вводится производная скалярного поля в точке Р по произвольному направлению. Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля . Рассмотрим точку этого поля и луч, выходящий из точки Р в направлении вектора .

Пусть - какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции u скалярного поля в точках и Р назовем приращением этой функции в направлении и обозначим .

Обозначим через расстояние между точками Р и : .

Определение. Производной функции в точке Р по направлению называется предел , эта производная обозначается , т.е.

(4.27)

Если производная функции u в точке по направлению положительна, то функция u в этом направлении возрастает; если же , то функция u в направлении убывает. Производная по направлению дает скорость изменения функции u в этом направлении.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Приращения , и координат точки Р связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами , , вектора соотношениями (рис. 4.9.)

; ; . (4.28)

Так как функция u по условию дифференцируема, то ее приращение в точке можно представить в виде (формула (4.15)):

, (4.29)

причем стремится к нулю быстрее, чем , т.е. .

Рис. 4.9.

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора , то , , а , и выражаются по формулам (4.28). Тогда равенство (4.29) примет вид

Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при :

Но , , и направляющие косинусы , , не зависят от , и так как , то получаем окончательную формулу

(4.30)

Из формулы (4.30) следует, что если вектор совпадает с направлением одной из координатных осей, то производная u по направлению совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Например, если сонаправлен с осью Ox, то , , и, следовательно,

Пример 4.23. Найти производную функции в точке в направлении вектора . Установить характер изменения функции в этой точке.

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора . Если вектор имеет координаты , , , то направляющие косинусы этого вектора находятся по формулам

; ; . (4.31)

В нашем случае , тогда

, , .

Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке

Тогда производная по направлению может быть вычислена по формуле (4.30):

Поскольку , то функция в данном направлении возрастает.

Если скалярное поле – плоское, то функция поля зависит от двух переменных: . Вектор в этом случае лежит в плоскости Oxy (т.е. ) и формула (4.30) в этом случае имеет вид:

Но, из рис. 4.10 видно, что . Получаем окончательно:

. (4.32)

Рис. 4.10.

Пример 4.24. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка имеет координаты (–2;6). Установить характер изменения функции в этом направлении.