Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал. Связь с непрерывностью.

При нахождении частных производных рассматривались частные приращения функции нескольких переменных, когда лишь один из аргументов изменялся, остальные же оставались постоянными. Теперь мы рассмотрим полное приращение, которое получает функцию при изменении всех её аргументов.

Пусть дана функция двух переменных  и пусть её аргументы получают соответственно приращения  и . Тогда функция  получает в точке (x, y) полное приращение , которое определяется формулой

.                                                                                   (4.10)

Определение. Функция  называется дифференцируемой

в точке , если её полное приращение  можно представить в виде

,                                                                                        (4.11)

где  и  - приращения соответствующих аргументов  и  в некоторой окрестности точки ;  и  - постоянные (величины, не зависящие от  и );  - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние  между точками  и , т.е.

                                                                                                         (4.12)

Определение. Линейная часть  полного приращения дифференцируемой функции  называется полным дифференциалом этой функции и обозначается

.                                                                                                            (4.13)

В выражении для дифференциала (4.13) величины  и  не зависят от  и , но зависят от точки , в которой этот дифференциал рассматривается, т.е.  и  являются функциями  и . Вид этих функций устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4.4. Если функция  дифференцируема в точке  (следовательно, имеет дифференциал ), то она имеет в этой точке первые частные производные, причём        ;     .

Доказательство. Так как по условию теоремы данная функция в точке  дифференцируема, то её полное приращение  в этой точке можно записать по формуле (4.10). Эта формула справедлива для любых достаточно малых  и . В частности, она остаётся справедливой, если , а . Но тогда приращение функции  становится частным приращением , и равенство (4.10) принимает вид

Разделим обе части этого равенства на  и перейдём к пределу при :

Заметим, что при  и .

Последний предел равен нулю согласно условию (4.12). Отсюда следует, что предел  существует и равен . Но этот предел равен частной производной по  в точке . Следовательно, мы доказали, что . Аналогично можно доказать, что частная производная  в точке  существует и равна .

Как и в случае функции одной переменной, для приращений независимых переменных введём обозначения: , . Тогда, заменяя на основании доказанной теоремы в формулах (4.11) и (4.13)  и  частными производными, получим

,                                                                                         

.                                                                                                        (4.14)

Можно показать, что обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. из существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Однако, если частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой, т.е. справедлива следующая теорема, доказательство которой мы не приводим.

Теорема 4.5. Если частные производные  и  функции  существуют в некоторой окрестности точки  и непрерывны в самой точке , то эта функция в точке  дифференцируема.

Всё сказанное распространяется на функции трёх и большего числа переменных. Так, функция трёх переменных называется дифференцируемой, если её полное приращение  выражается формулой

,                                                                        (4.15)

при условии ,   где .

При этом ; ;    и полный дифференциал функции имеет вид:

.                                                                                          (4.16)

Отметим, что, как и в случае функции одной переменной, дифференцируемая в точке Р функция является непрерывной в этой точке. Это следует из формулы (4.11): перейдем к пределу при  получим:  Применяя формулу (4.10), получим:

что и означает непрерывность функции (см. формулу (4.1)). Аналогичное утверждение справедливо и для функции n переменных,

Заметим также, что не всякая непрерывная функция нескольких переменных дифференцируема (аналогичное утверждение справедливо и для функции одной переменной, см. п. 3.5).

Если функция двух переменных  дифференцируема, то существует её дифференциал (4.14), который в свою очередь является функцией нескольких переменных. Поэтому может быть поставлен вопрос о нахождении дифференциала от дифференциала, т.е. . Воспользуемся для этого формулой (4.14):

.

Предположим существование частных производных второго порядка от функции , тогда

.

При нахождении частных производных использован тот факт, что  и  являются независимыми приращениями аргументов  и , т.е. от  и  не зависят. Поэтому

.

Если предположить непрерывность смешанных частных производных второго порядка, то согласно теореме 4.3, , и мы получим окончательную формулу для , который называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции  и обозначается :

.                                                                      (4.17)

Аналогично можно получить формулу для дифференциала второго порядка функции трёх переменных :

.

Дифференциал от дифференциала второго порядка является дифференциалом третьего порядка и т.д. Формула для дифференциала третьего порядка функции  записывается в виде:

.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: