Методы решения задач на тему: дифференцирование функций нескольких переменных.

Пример 4.14. Найти частные производные первого порядка функций.

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Функция z зависит от двух переменных x и y. При вычислении частной производной функции z по независимой переменной x вторая независимая переменная y должна рассматриваться как величина постоянная. Поэтому

.

При нахождении частной производной по y, наоборот, независимая переменная x рассматривается как величина постоянная.

.

б) Находим частные производные, использую формулу производной сложной функции

;

.

в) Функция представляет собой отношение функций, зависящих от двух переменных x и y. Дифференцируем ее как частное

.

.

г) Вычисляя частную производную , рассматриваем данную функцию как сложную степенную функцию вида , где  и . Поскольку производная , то .

При нахождении частной производной по переменной y заданную функцию рассматриваем как показательную функцию вида , где  и . В этом случае , поэтому

.

Пример 4.15. Найти значения частных производных функции  в точке :

а) , ;                       б) , ;

в) , .

Решение. а) Находим сначала частные производные, используя формулу производной сложной функции :

,           .

Подставляя координаты точки  в найденные производные, получим

120,5; –20,1.

б) Находим частные производные первого порядка

.

.

и подставляем в частные производные координаты точки :

0,612;

–0,612.

в) Частные производные первого порядка равны

.

.

Теперь вычислим значения частных производных в точке :

; .

Пример 4.16. Найти все частные производные второго порядка функции .

Решение. Находим частные производные первого порядка

; .

Затем находим частные производные второго порядка как частные производные от частных производных первого порядка

;

;

;

.

Мы видим, что , как и должно быть согласно теореме 4.3.

Пример 4.17. Найти полный дифференциал первого порядка функции двух переменных:

а) ;                        б)    при .

Решение. Для того чтобы найти полный дифференциал первого порядка необходимо иметь все частные производные первого порядка этой функции, а затем воспользоваться формулой (4.14):

,

,

.

б) Вычислим частные производные первого порядка

.

.

Полный дифференциал первого порядка равен

.

Пример 4.18. Найти значение полного дифференциала первого порядка функции  в точке  при = 0,1, =0,05.

Решение. Найдем частные производные первого порядка от заданной функции

;

и вычислим их значения в точке

; .

Следовательно, полный дифференциал в заданной точке равен

.

В полученное выражение для полного дифференциала подставим значения dx = = 0,1 и dy = =0,05, тогда

.

Пример 4.19. Найти дифференциал второго порядка функции, заданной в примере 4.16, как в общем виде, так и в точке  при = 0,1, =0,05.

Решение. Найдем частные производные второго порядка заданной функции.

; ;

.

Дифференциал второго порядка запишем согласно формуле (4.17):

.

Для нахождения дифференциала второго порядка в точке  вычислим значения частных производных второго порядка в этой точке:

;        ;   .

Тогда дифференциал второго порядка в точке  равен

.

В полученное выражение для полного дифференциала подставим значения dx = = 0,1 и dy = =0,05, тогда

–0,83.

Пример 4.20. Найти частные производные функции  заданной неявно уравнением .

Решение. Для нахождения производных воспользуемся формулами (4.25). В данном случае

.

Найдем частные производные от функции :

;     ; .

Тогда частные производные неявной функции равны:

,

.

Пример 4.21. Найти частные производные ,  и полный дифференциал  функции z, заданной неявно уравнением .

Решение. Здесь . Поэтому

, , .

Следовательно

, ,

.

Пример 4.22. Найти полный дифференциал  функции  в точке .

Решение. Функция z задана неявно. В данном случае . Найдем частные производные от функции :

;             ;        .

Вычислим найденные производные в точке М:

; ;  

.

Частные производные функции  найдем по формуле (4.25):

; .

Отсюда получаем полный дифференциал функции  в точке М:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти частные производные первого порядка функций

4.1.                         4.2.

4.3.                                    4.4.

4.5.                                              4.6. .

Найти значения частных производных первого порядка в точке М:

4.7. , М(1;1).                              4.8. , М(1;0)

4.9. , М(2;1).                    4.10. , М(2;1)

4.11. , М(1;2;0).

Найти полные дифференциалы функций

4.12. .                                 4.13.

4.14.  .                                    4.15. .

4.16. Найти dz в точке М(1;1), если   и ∆х = 0,02, ∆y = 0,005.

4.17. Найти du в точке М(3;4;5), если  и ∆х = 0,1; ∆y = 0,05; ∆z = 0,02.

4.18. Найти частные производные второго порядка от функции .

Найти дифференциалы второго порядка , если

4.19. .                                           4.20. .

Найти производные неявных функций от x и y, заданных уравнениями

4.21. .                    4.22. .

4.23. Найти полный дифференциал функции , заданной уравнением .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: