Непрерывность функций нескольких переменных.

Определение. Функция нескольких переменных  называется непрерывной в точке , если

.                                                                                                        (4.1.)

Заметим, что функция , непрерывная в точке , должна быть определена в этой точке и некоторой её окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка , в которой функция нескольких переменных  непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.

Для непрерывных функций справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Если функции n переменных  и  непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма , разность  и произведение . Если , то частное  также непрерывно в точке .

Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно аналогично доказательству соответствующей теоремы для функции одной переменной (п.2.13).

Введём некоторые определения, которые понадобятся в дальнейшем.

Открытой областью называется множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

– каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

– всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Пример 4.8. Часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура , изображенного на рис.4.6, является открытой областью, так как: 1)для любой точки , лежащей внутри , существует окрестность, также лежащая внутри ; 2)две любые точки  и , лежащие внутри , можно соединить непрерывной линией, лежащей внутри .

Рис. 4.6.

Точка  называется граничной точкой области , если любая окрестность этой точки содержит как точки области , так и точки ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется её границей.

На рис. 4.6. любая точка  контура  является граничной точкой.

Если к открытой области присоединить её границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Области определения функций приведённых в примерах 4.1 и 4.2 являются открытыми (см. рис. 4.1 и 4.2). Вся плоскость также является открытой областью. Область определения первой функции, рассмотренной в примере 4.3, является замкнутой.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью покрывающий эту область, т.е. такой, внутри которого лежат все точки этой области. Если же круга, полностью покрывающего эту область, подобрать нельзя, то область называется неограниченной.

Ограниченными являются области определения функции в примере 4.2 и функции из примера 4.3. Напротив, области определения в примере 4.1 и функции из примера 4.4 – неограниченные.

Замечание. Все введённые понятия, касающиеся областей, почти без изменения переносятся на пространство трёх и большего числа измерений. Например, область определения функции, рассмотренной в примере 4.5, является замкнутой ограниченной областью трёхмерного пространства.

Определение. Точка  называется точкой разрыва  функции , если она принадлежит области определения этой функции или её границе и не является точкой непрерывности.

Пример 4.9. Найти точки разрыва функции.

а) ;                                      ) .

Решение. а) Функция имеет единственную точку разрыва – начало координат , в которой она не определена. При неограниченном приближении точки  к началу координат функция  стремится к бесконечности (рис. 4.7).

Рис. 4.7.

) Функция определена и непрерывна всюду, кроме тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Это уравнение прямой, являющееся границей области определения функции. Каждая точка этой прямой является точкой разрыва. Следовательно, точки разрыва образуют прямую на плоскости.

Во второй главе были рассмотрены свойства функций, непрерывных на отрезке (п.2.15). Аналогичными свойства обладают функции двух и большего числа переменных, непрерывные в ограниченной замкнутой области.

Определение. Функция  называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. При этом функция  считается непрерывной в граничной точке , если выполняется равенство , причём в определении предела под окрестности точки  понимается часть полной окрестности, принадлежащая данной области (рис.4.6).

Теорема 4.2. Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

– ограничена, т.е. ;

– имеет наименьшее  и наибольшее  значения;

– принимает хотя бы в одной точке области  любое численное значение, заключённое между  и .

Например, функция , рассмотренная в первой части примера 4.3, определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области , следовательно, обладает указанными в теореме свойствами. Действительно, она является ограниченной, т.к. . Наименьшее значение функции  достигается на границе области определения функции, т.е. в точках окружности 1; наибольшее значение 1 – в начале координат . Любое число, заключённое между нулём и единицей (между  и ), является некоторым значением функции (рис. 4.4).

Частные производные.

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем значение одного из её аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке : 

                                                                                      (4.2)

Эта производная называется частной производной первого порядка функции  по  в точке  и обозначается .

Разность, стоящая в числителе (4.2), называется частным приращением по  функции   в точке  и обозначается :

.                                                                                  (4.3)

С помощью этих обозначений можно записать

=                                                                                                  (4.4)

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции  по  и частная производная по  в точке :

                                                                                   (4.3’)

                                                                                                   (4.4’)

Таким образом, частная производная первого порядка функции двух переменных по одному из её аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Значение частной производной зависит от точки , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных  является функцией точки , т.е. также является функцией двух переменных  и .

Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются:

,      или , ,  или , .

Частные приращения и частные производные функции  переменных при  определяются и обозначаются аналогично. Так для функции трёх переменных  частное приращение по  в точке  получится, если  получит приращение , а остальные аргументы останутся неизменными:

.                                                                        (4.5)

Частная производная функции  по аргументу  в точке  равна

.                                                                                              (4.6)

Мы видим, что частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Поэтому все правила и формулы нахождения производных функции одной переменной сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример 4.10. Найти частные производные первого порядка функции .

Решение. Частную производную  находим, как производную функции  по аргументу  в предположении, что .

.

Аналогично

.

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции.

Таким образом, функция  двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

;        ;                                          (4.7)

;     .                             (4.8)

Частные производные второго порядка типа (4.7) называются повторными частными производными второго порядка, а типа (4.8) – смешанными частными производными второго порядка.

Функция  трёх переменных имеет девять частных производных второго порядка:

;     ;   ;  и т.д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных. Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной -го порядка той же функции.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Пример 4.119. Найти все частные производные второго порядка от функции, заданной в примере 4.10.

Решение. Воспользуемся результатом, полученным в примере 4.8. Найдём сначала повторные частные производные второго порядка:

;

.

Затем найдём смешанные частные производные второго порядка:

;

.

Видно, что смешанные частные производные данной функции  и , отличающиеся между собой лишь порядком нахождения производной, оказались одинаковыми. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую приведём без доказательства.

Теорема 4.3. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком нахождения производных, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных  имеем:

.                                                                                                              (4.9)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: