Градиент скалярного поля.

При изучении скалярных полей важную роль играет вектор, тесно связанный с функцией скалярного поля – градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом в точке  скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого – соответствующие частные производные функции , вычисленные в точке Р. Градиент обозначается одним из символов , , . Следовательно, по определению

                                                      (4.33)

или кратко           .                                                                  (4.33’)

Теорема 4.7. Производная функции  по направлению вектора  равна проекции градиента этой функции на вектор :

.                                                                                                            (4.34)

Доказательство. Из векторной алгебры известно, что проекция вектора  на вектор  находится по формуле

.

Найдем проекцию градиента функции  на вектор :

,

здесь использованы формулы для направляющих косинусов вектора :

, , .

Теорема и формула (4.30) доказана.

Пример 4.36. Найти производную функции  в точке  по направлению, идущему из точки  в точку .

Решение. Найдем градиент скалярного поля u в точке .

,

,

Таким образом . Вектор .

.

Производную по направлению находим по формуле (4.34)

Выше мы отмечали, что производная по направлению  выражает скорость изменения скалярного поля  в этом направлении. Поэтому можно сказать, что проекция градиента скалярного поля на вектор  равна скорости изменения поля в направлении вектора .

Обозначим через  угол между вектором  и  u. Тогда

. Поэтому, на основании формулы (4.34)

.                                                                                                       (4.35)

Если направление векторов  и  u совпадает ( ), то производная по направлению  имеет наибольшее значение, равное . Мы получили важное свойство градиента:  grad u  есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке, причем скорость этого возрастания равна модулю градиента.

Важным свойством градиента является взаимное расположение  grad u  в данной точке  и поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Можно доказать, что если скалярное поле задано дифференцируемой функцией , то все касательные, проведенные в точке  к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку , расположены в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности уровня, проведенной через точку .

Так же без доказательства приведем теорему о том, что, если вектор градиента не равен нулю в точке , то он перпендикулярен к касательной плоскости, проведенной к поверхности уровня через точку .

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

grad  .                                                                       (4.36)

Его связь с производной по направлению  выражается равенством

 z, или ,                                                                       (4.37)

где  - угол между вектором  и grad z. Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией , то вектор grad  перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: