Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.

Скалярным полем  называют часть пространства (или все пространство), каждой точке Р которого поставлено в соответствие численное значение некоторой скалярной величины u.

Примером скалярного поля является неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности. Распределение температуры в данном теле, концентрация растворенного вещества – все это примеры скалярных полей. Во всех этих случаях предполагается, что скалярная величина не зависит от времени, а зависит только от положения точки Р в пространстве. То есть, величина u рассматривается как функция точки Р: . Эта функция называется функцией поля . Если в пространстве введена система координат Oxyz, то точка Р в этой системе будет иметь определенные координаты x, y, z и скалярная величина u станет функцией этих координат: .

Обратно, всякая функция трех переменных  задает скалярное поле.

Скалярные поля часто изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня. Поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется множество всех точек пространства, в которых функция поля  принимает одно и то же значение С.

Уравнение поверхности уровня имеет вид

.

Придавая С различные значения, получают семейство поверхностей уровня.

Например, если поле задано функцией       , то поверхности уровня имеют уравнения  – сферы с центром в начале координат и радиусом, равным .

Если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля являются изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматриваются также плоские скалярные поля. Плоское скалярное поле определяется как часть плоскости (или вся плоскость), каждой точке Р которой соответствует численное значение скалярной величины z. Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных: .

Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня. Линия уровня определяется как множество всех точек плоскости, в которых функция плоского скалярного поля имеет одно и то же значение. Для функции  плоского скалярного поля уравнение линии уровня имеет вид , где С – постоянная.

Рис. 4.8.

Например, для плоского скалярного поля, заданного функцией , линиями уровня являются равносторонние гиперболы  (рис. 4.8.). При  получим уравнение  или . Это уравнение двух прямых  и . Это означает, что асимптоты гипербол – биссектрисы координатных углов – также относятся к линиям уровня рассматриваемого поля.

На географических картах изображают линии уровня высот на поверхности земли и линии уровня глубин в морях и океанах.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: