Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

Пусть поверхность в пространстве задана уравнением

,                                                                                                                 (4.38)

левая часть которого является дифференцируемой функцией в некоторой области. Эта функция  определяет скалярное поле, для которого поверхность (4.38) является одной из поверхностей уровня, т.е. поверхность, на которой функция скалярного поля равна нулю. Пусть в точке  поверхности grad  не равен нулю. Тогда, согласно п. 4.8. вектор градиента будет перпендикулярен касательной плоскости к поверхности (4.38). (рис. 4.11).

Рис. 4.11.

Найдем уравнение этой плоскости. Искомая плоскость проходит через точку . Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости имеет вид

,                                                                           (4.39)

где А, В, С – координаты нормального вектора к плоскости. Так как вектор градиента

grad

перпендикулярен касательной плоскости, то его можно принять за нормальный вектор этой плоскости. Тогда уравнение (4.39) будет иметь вид:

.                    (4.40)

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности (4.38) в точке .

Пусть поверхность (4.38) имеет в некоторой ее точке  касательную плоскость. Прямая, проходящая через точку  перпендикулярно этой касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (4.38) в точке . Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

,

где p, q, r – координаты направляющего вектора, т.е. вектора, параллельного данной прямой. Вектор grad , очевидно, направлен вдоль нормали и поэтому может быть использован в качестве ее направляющего вектора. Тогда каноническое уравнение нормали будет иметь вид:

.                                                         (4.41)

Пример 4.37. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду  в точке , где ; .

Решение. Находим прежде всего , подставив координаты  и  в уравнение параболоида

.

Приведем уравнение параболоида к виду (4.38):

.

Следовательно, в нашем случае . Найдем ее частные производные

; ; .

Подставив в них координаты точки , получим координаты нормального вектора к касательной плоскости.

; ; .

Затем записываем уравнение касательной плоскости согласно (4.40)

или ,

и уравнение нормали, согласно (4.41):

.

Рассмотрим теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция  имеет в точке  дифференциал (4.14):

Напомним, что для независимых переменных

,       

Выражение для дифференциала можно переписать в виде

                                                                             (4.42)

Запишем уравнение касательной плоскости к графику функции  в точке ,   где . Преобразуем уравнение рассматриваемой поверхности к виду (4.38):       =0

В данном случае . Градиент этой функции имеет координаты

, , .

Тогда уравнение касательной плоскости можно записать в виде

или

.                                                           (4.43)

Мы видим, что правая часть полученного уравнения совпадает с правой частью выражения (4.42) для дифференциала . Следовательно, и левые части этих равенств равны. Но в равенстве (4.42) левая часть есть дифференциал функции  в точке , а в уравнении (4.43) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты (координаты ) касательной плоскости.

Получен следующий вывод, поясняющий геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции двух переменных равен приращению координаты  касательной плоскости, т.е. приращению координаты , если поверхность, соответствующую графику заданной функции заменить на касательную к ней плоскость (рис. 4.12).

Рис. 4.12.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: