Предел функции нескольких переменных.

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точек. Под окрестности точки  там понимался интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела для функции нескольких переменных мы будем рассматривать окрестность двумерной точки в плоскости , окрестность трёхмерной точки  в пространстве , и, вообще, окрестность n – мерной точки  в n – мерном пространстве.

Определение. Окрестностью точки    радиуса  называется внутренность круга с центром в этой точке радиуса . Окрестностью точки  радиуса называется внутренность шара с центром в этой точке радиуса . Обозначают такую окрестность  и называют - окрестностью точки . Очевидно, что любая точка P(x,y) на плоскости, принадлежащая - окрестности точки , находится от этой точки на расстоянии, меньшем . Аналогично, любая точка  в пространстве, принадлежащая - окрестности точки , также находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

В пространстве n измерений – окрестностью точки  называется множество всех точек , расстояние каждой из которых от точки  меньше , т.е. .

Если из - окрестности точки  удалить саму точку , то мы получим проколотую - окрестность точки , которая обозначается .

Пусть функция  определена в окрестности .

Определение. Число  называется пределом функции двух переменных  при  и , т.е. при , если для любого числа >0 найдётся такая выколотая - окрестность точки , что для любой точки  этой окрестности выполняется неравенство

или .

При этом пишут     или .

Определение предела функции через кванторы можно записать следующим образом:

.

Написанное таким образом определение справедливо для функции любого числа переменных. При этом точки и , окрестность  рассматриваются в пространстве соответствующей размерности.

Заметим, что, если число  является пределом функции , то  стремится к , при этом точка  произвольным образом неограниченно приближается к точке . Из этого следует, что, если при приближении точки  к  по различным направлениям функция имеет различные предельные значения, то при  функция предела не имеет.

Пример 4.6. Найти предел функции .

Решение. Заданная функция определена на всей плоскости за исключением начала координат. Пусть точка  приближается к началу координат по оси , где . Тогда 1. Если же точка  приближается к началу координат по оси , где , то 1.

Мы видим, что при приближении точки  к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения. Следовательно, предела при  не существует.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Вообще можно показать, что для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределах и правила нахождения пределов, рассмотренные для функции одной переменной в главе 2.

Пример 4.7. Найти .

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим:

=

.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: