Экстремум функции двух переменных.

Понятие максимума и минимума для функции нескольких переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти понятия только для функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных  непрерывна в некоторой области .

Функция двух переменных имеет в точке  области  максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек  этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство . Точка  называется при этом точкой максимума функции .

Функция двух переменных имеет в точке  области  минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек  этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство . При этом точка  называется точкой минимума функции .

Существует общее название для максимума и минимума – экстремум .

Теорема 4.8. (Необходимый признак существования экстремума). Если в точке  функция  имеет экстремум и если в этой точке существуют частные производные первого порядка от функции , то эти производные равны нулю, т.е.

;               

Доказательство. Частная производная функции  по  в точке  есть производная функции одной переменной  в точке . Но в этой точке функция  имеет, очевидно, экстремум. Следовательно,  (см. п. 3.17). Но, так как , то отсюда следует, что .

Аналогично можно показать, что . Теорема доказана.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарными .

Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция , очевидно, имеет минимум в точке  равный нулю, но в этой точке частные производные не существуют:

;   ;    (x, y) ≠ (0, 0).

Точки, в которых частные производные первого порядка функции  обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками  этой функции. Из изложенного выше следует, что точки экстремума функции следует искать среди её критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума.

В качестве примера рассмотрим функцию . Частные производные первого порядка этой функции  и  обращаются в нуль в начале координат, следовательно, точка  является критической. Однако экстремума в этой точке функция  не имеет.

Действительно, , но в любой окрестности точки  имеются как положительные (в точках, принадлежащих I и III четвертям), так и отрицательные (в точках, принадлежащих II и IV четвертям) значения функции .

Рассмотренный пример показывает, что теорема 4.8 является необходимым, но не достаточным признаком существования экстремума. Сформулируем достаточное условие существования или отсутствия экстремума в стационарной точке .

Теорема 4.9 (Достаточное условие существования экстремума). Пусть точка  является стационарной для функции  и пусть в этой точке существуют и непрерывны все частные производные второго порядка. Обозначим

,        ,           

и определитель второго порядка

.                                                                                                   (4.43)

Если , то функция  имеет в точке  экстремум: минимум при  и максимум при .

Если , то в точке  функции  экстремума не имеет.

Если , то для заключения о характере стационарной точки требуется дополнительное исследование.

Сформулированные здесь достаточные признаки существования или отсутствия экстремума мы оставляем без доказательства.

На практике для исследования функции двух переменных на экстремум находят стационарные точки, решая систему уравнений

,                                                                                                                (4.44)

а затем проверяют каждую найденную стационарную точку на наличие в ней экстремума с помощью достаточного условия (теорема 4.9). Кроме того рассматриваются точки, в которых хотя бы одна из частных производных первого порядка отсутствует.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: