Условный экстремум функции двух переменных.

На практике в ряде случаев приходится иметь дело с исследованием на экстремум функций нескольких переменных при наличии определённых условий, связывающих эти переменные.

Пусть задана функция двух переменных  при условии, что  и  связаны соотношением , это соотношение называется уравнением связи.

Определение. Обозначим через D множество  Точка   называется точкой условного минимума функции , если существует такая окрестность этой точки , что для всех точек  отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется точка условного максимума, только заключительное неравенство имеет вид:

Точки условного максимума или условного минимума называются точками условного экстремума функции , при этом говорят, что функция имеет в этих точках условный экстремум.

При наличии условия  из переменных  и  лишь одно независимое, а второе определяется из условия. Если разрешить условие относительно  и подставить в функцию  вместо  найденное выражение, получим  как функцию одного переменного . Таким приёмом часто пользуются при решении задач. Однако бывают случаи, когда выразить  из условия  затруднительно или вообще невозможно. В этом случае пользуются методом множителей Лагранжа .

Теорема 4.10 (Необходимое условие условного экстремума).

Пусть необходимо исследовать на экстремум функцию  при наличии условия . Составим функцию , называемую функцией Лагранжа:

.                                                                                     (4.45)

Если в точке  существует условный экстремум функции , то координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:

                                                                                                             (4.46)

Доказательство. При наличии условия  из переменных  и  лишь одно независимое, а другие определяются из условия. Будем считать, что х - независимое переменное, а y- функция от x, т.е. . Тогда z является функцией одного независимого переменного x: .

Найдём производную  по формуле производной сложной функции одного переменного (4.19), при этом роль переменной t будет играть x:

Производная  равна нулю в точке экстремума, поэтому

.                                                                                                             (4.47)

Аналогично возьмём производную от обеих частей уравнения связи

                                                                                                       (4.48)

К уравнению (4.47) прибавим уравнение (4.48), умноженное на произвольный коэффициент .

Перегруппируем слагаемые в левой части полученного равенства

Выберем  так, чтобы вторая скобка обращалась в нуль. Тогда первая скобка также будет равна нулю. Получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных , которая справедлива в точках экстремума.

Получен необходимый признак существования условного экстремума. .

Если ввести функцию Лагранжа (4.45), то левые части системы (4.45) представляет собой частные производные этой функции соответственно по переменным  и . Точка , удовлетворяющая системе (4.46) вместе с некоторым значением  называется стационарной точкой условного экстремума.

Теорема 4.11. (Достаточное условие условного экстремума).

Пусть - любое решение системы (4.46). Вычислим определитель третьего порядка :

                                            (4.49)

Тогда, если , то функция  имеет в точке  условный максимум. Если же , то в точке  функция  имеет условный минимум. .

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: