Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в ограниченной замкнутой области.

Непрерывная функция двух переменных  в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значения (теорема 4.2).

Чтобы найти эти наибольшие и наименьшие значения в ограниченной замкнутой области  следует

– найти все критические точки функции , принадлежащие области ;

– найти все стационарные точки условного экстремума на границах области ;

– вычислить значения функции  во всех найденных выше точках, а также в точках пересечения границ области .

Самое большое из найденных значений функции  будет наибольшим значением этой функции в области . Соответственно, наименьшим значением функции  в области  будет наименьшее из найденных значений функции.

Примеры решения задач на тему: приложения частных производных..

Пример 4.38. Найти наибольшую скорость возрастания функции трёх переменных  в точке .

Решение. Наибольшая скорость изменения функции в данной точке определяется по формуле:

.

Частные производные функции в точке  равны:

;                                        ;

                            .  

Поэтому . Тогда максимальная скорость возрастания функции равна

.

Пример 4.39. Найти угол  между градиентами функций  и  в точке .

Решение. Градиент является векторной величиной. Угол между двумя векторами проще всего найти, используя скалярное произведение двух векторов. Поэтому следует найти градиенты заданных функций и воспользоваться известной из курса аналитической геометрии формулой

.

Частные производные функции  в заданной точке равны:

;           ;                .

Следовательно, .

Частные производные функции  в заданной точке равны

;     

;    

Следовательно,

Тогда их скалярное произведение равно

Это означает, что градиенты заданных функций перпендикулярны.

                                              .

Пример 4.40. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности конуса  в точке .

Решение. Уравнение конуса можно записать в виде:

.

Найдем координаты градиента к функции

; ; .

В качестве нормального вектора к касательной плоскости возьмем градиент функции  в точке .

.

Тогда уравнение касательной плоскости запишется в виде

,

или

; ;      .

Уравнение нормали запишется в виде

.

Пример 4.41. Найти уравнение касательной плоскости к эллипсоиду , которая параллельна плоскости .

Решение. Запишем уравнение эллипсоида в виде .

Найдем градиент функции .

;   ; ;         .

Градиент функции  в точке касания  перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно он коллинеарен нормальному вектору заданной плоскости , т.е.  (условие коллинеарности двух векторов).

Запишем условие коллинеарности через координаты:

,

откуда

;     ; .

Подставим полученные выражения для координат точки касания  в уравнение эллипсоида: .

Преобразовав полученное уравнение, получим ,   .

Мы получили два значения для , а следовательно, две точки касания. Это означает, что существуют две плоскости, касательные к эллипсоиду и параллельные заданной плоскости.

Первая точка касания  получится при :

; , .

В качестве нормального вектора к касательной плоскости возьмем нормаль заданной плоскости . Тогда уравнение касательной плоскости будет

,

или 

.

Вторую точку касания  найдем при :

; ,        .

Аналогично получим уравнение второй касательной плоскости

или

.

В качестве ответа запишем найденные точки касания и соответствующие касательные плоскости

,    .

, .

Пример 4.42. Исследовать на экстремум функции двух переменных

.

Решение. Найдём частные производные первого порядка

;      .

Приравнивая их к нулю, получим систему для определения стационарных точек

Имеем единственную стационарную точку (точку возможного экстремума) . Найдём частные производные второго порядка:

                               

поэтому всюду в области, в том числе и в стационарной точке

        

Здесь  и , значит,  является точкой минимума данной функции. При этом

Пример 4.43. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдём частные производные первого порядка

               

Найдём стационарные точки, решая систему уравнений

.

Заданная функция имеет четыре стационарные точки

                          

Найдём частные производные второго порядка

    ,    .

Определим знак  в каждой из стационарных точек

1) Точка

             

Так как то в точке  существует экстремум. Поскольку  то точка минимума

2) Точка

              .

В точке  также  т.е. существует экстремум. Однако здесь  поэтому - точка максимума.

3) Точка :

             .

Так как , то в точке  экстремума нет.

4) Точка :

           

Экстремума в точке   нет.

Теперь вычислим значения заданной функции в точках экстремума  и

Пример 4.44. Исследовать на экстремум функцию

                                

Решение. Найдём частные производные первого порядка

   

Для нахождения стационарных точек нужно решить систему уравнений

                                                      (4.50)

Левые части уравнений системы являются однородными многочленами второго порядка относительно  и  (каждое слагаемое имеет второй порядок относительно  и ). Чтобы решить систему умножим каждое из уравнений на такое число, чтобы при сложении уравнений друг с другом свободный член обращался в нуль. Для этого первое уравнение умножим на -4, а второе на 3.

Складывая уравнения, получим

Замечаем, что  не является решением исходной системы уравнений, поэтому можно обе части полученного уравнения поделить на  и ввести новое переменное

Полученное квадратное уравнение имеет корни .

1) Пусть  или , . Подставим в первое уравнение системы (4.50); получим

.

Получили две точки  и

2) Теперь рассмотрим  или .

Снова подставляем в первое уравнение системы (4.50):

Умножим обе части уравнения на  и вынесем в левой части уравнения  за скобки

Проведя расчёт, получим .

Учитывая, что   получаем ещё две стационарные точки .

Найдём частные производные второго порядка

                 

Определим знак  в каждой из стационарных точек

1. Точка .

   ;

;     .

Так как , то в точке  существует экстремум. Поскольку , то - точка максимума.

2. Точка .

   

  

В точке  также , т.е. существует экстремум. Однако здесь , поэтому - точка минимума.

3. Точка

    

  .

Так как , то в точке  экстремума нет.

4. Точка

 

   .

Экстремума в точке  нет.

Вычислим значения исследуемой функции в точках экстремума  и

.

Пример 4.45. Исследовать на экстремум функцию  при условии .

Решение. Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа , где  - уравнение связи. В нашем случае  и функция Лагранжа будет иметь следующий вид

Найдем частные производные от функции Лагранжа ; .

Для нахождения стационарных точек условного экстремума нужно решить систему уравнений

Из первых двух уравнений получаем , . Подставим выражение  и  через  в уравнение связи:

; ; ; ; .

Мы получили две стационарные точки

1) , , ;

2) , , .

Теперь используем достаточное условие условного экстремума (теорема 4.11). Вычислим значение определителя (4.50) в каждой из стационарных точек. Для этого найдем частные производные

; ;

; ; .

Тогда определитель (4.50) будет равен

.

В точке , следовательно функция в этой точке имеет условный минимум. В точке  и функция в этой точке имеет условный максимум.

В заключение вычислим значения функции в точках условного экстремума:

.

Пример 4.46. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , ; .

Решение. Представим указанную область графически (рис. 4.13). Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе.

Рис. 4.13.

1. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные

 и

должны обращаться в нуль. Найдем стационарные точки, решая систему:

.

Имеем одну точку , которая находится внутри заданной области. В точке  значение функции равно:

.

2. Перейдем к исследованию функции на границах области.

(а) На отрезке : , , .

Задача сводится к отысканию стационарной точки функции одного аргумента на отрезке . Находим производную . Решаем уравнение

; .

На отрезке  находится одна стационарная точка . Находим значение функции  в этой точке .

(б) На отрезке : , ,

Находим .  при . Получили стационарную точку  на отрезке . Значение функции  в этой точке .

(в) На отрезке :  или , где .

И в этом случае получаем функцию одной переменной .

Ее исследование на экстремум дает

,   тогда .

Таким образом, на отрезке  имеем стационарную точку . Значение функции  в точке  равно .

3. Вычислим значение функции  в точках пересечения границ , , . В точке  расчет уже произведен.

; .

Из всех полученных нами значений функции в стационарных точках ; ; ;  и в точках пересечения границ области ,  выбираем наибольшее и наименьшее

,

.

Пример 4.47. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , .

Решение. 1. Для отыскания стационарных точек заданной функции нужно решить систему

Так как частные производные заданной функции в нуль не обращаются, то функция стационарных точек не имеет.

Рис. 4.14.

2. Исследуем функцию на границах области (рис. 4.14).

(а) На отрезке : ; .

.

Так как на прямой  производная в нуль не обращается, функция не имеет на этой прямой стационарных точек.

(б) Для исследования функции на окружности  используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

.

Для нахождения стационарных точек необходимо решить систему уравнений

Из первых двух уравнений найдем ,  и подставим в третье уравнение

.

Откуда . Получили две стационарные точки на окружности. При  находим , . Точка  не принадлежит заданной области (рис. 4.14).

Значению  соответствуют , . Точка  принадлежит заданной области. Вычислим значение функции  в этой точке

.

3. Вычислим значения функции в точках пересечения границ  и :

В точке .

В точке .

Мы нашли одну стационарную точку ,  и вычислили функцию в двух «угловых» точках , . Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее, получаем ответ

.

.

Задачи для самостоятельного решения.

4.24. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора .

4.25. Найти производную функции  в точке  по направлению вектора , где .

4.26. Найти производную функции  в точке  в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в ,  и .

4.27. Найти градиент функции  в точке .

4.28. Найти наибольшую скорость возрастания функции  в точке .

4.29. Даны две функции  и . Найти косинус угла между градиентами этих функций в точке .

В данной точке  найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям:

4.30. , .

4.31.  (однополостной гиперболоид), .

4.32.  (сфера) в точке , где , .

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности , параллельной плоскости .

4.33. : , : .

4.34. : , : .

Исследовать на экстремум функции.

4.35. .

4.36. .

4.37. .

4.38. .

4.39. .

4.40. .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в заданной области .

4.41. . : , , .

4.42. . : , .

4.43. . : , .

4.44. . : .

4.45. : , , .

 

Ответы.

.

Глава 4.

4.1. , . 4.2. , . 4.3. , . 4.4. , . 4.5. , . 4.6. , . 4.7. ; . 4.8. , . 4.9. ; . 4.10. ; . 4.11. ; ; . 4.12. . 4.13. . 4.14. . 4.15. . 4.16. = 0,01. 4.17. = –0,016. 4.18. ; ; . 4.19. . 4.20. . 4.21. ; . 4.22. , . 4.23. . 4.24. . 4.25. , . 4.26. . 4.27. . 4.28. . 4.29. . 4.30. , . 4.31. , . 4.32. , . 4.33. Две точки касания. , ; , . 4.34. Точка касания , . 4.35. . 4.36. Экстремумов нет. 4.37. . 4.38. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.39. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.40. , . В стационарных точках  и  экстремумов нет. 4.41. , . 4.42. , . 4.43. , . 4.44. , . 4.45. , .

 

Библиографический список

 

Для более глубокого овладения курсом может быть рекомендована следующая литература:

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х т.– 3-е изд., перераб. –М.: Физматлит, 2005.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х т. – 7-е изд. – М.: Физматлит, 2005.

3. Шипачев В.С., Курс высшей математики. Тома 1 и 2. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981-1982.

4. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. В двух частях. – М. Физматлит, 2008.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов. Под общ. ред. А. В. Ефимова и А С. Поспелова» –3-е изд. перераб. и доп. –М.: Физматлит, 2003.

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213

Поделиться: