Элементы, стоящие по диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ; из верхнего правого – побочную.

Элементы, стоящие по диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ; из верхнего правого – побочную.

Матрицы равны между собой, если равны их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Матрица размера n · n - матрица n -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю – диагональная.

Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, единичная.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, - нулевая.( обозначается буквой О)

Матрица, содержащая один столбец или одну строку – вектор.

2.Умножение матрицы на число

Пусть задана матрица А= aij i =1, m ; j =1, n ; α принадлежит R . Чтобы умножить матрицу А на число α, нужно кадый Эл-т матрицы умножить на это число α .

С=(α aij )

Сложение матриц

Пусть заданы А= aij и В= bij одинаковой размерности i =1, m ; j =1, n . Тогда суммой двух этих матриц называется матрица С=с ij . Другими словами, нужно сложить соответствующие эл-ты. Кратко: С=А+В

Св-ва:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1·А=А

6. α·(А+В)=αА+αВ

7. (α+β)·А=αА+βА

8. α·(βА)=(βα)·А

3.Умножение матриц

Матр А и В соглас-е, если число строк матр А равно числу столбцов матр В, и наоборот.

Оп-ция умн-я матриц определена только для соглас. матриц.

Кв матрицы одного и того же порядка и одной и той же размерности всегда согласованны.

Пусть задана матр А= aik i =1, m ; k =1, n и матр В= bkj k =1, m ; j =1, n . Тогда произв-ем А на В наз. матр С такая, что с ik = ai 1· b 1 k + ai 2· b 2 k +…+ ain · bnk , где i =1, m ; k =1, n , т.е. эл-т i -той строки и k -того столбца матрицы произв-ия С равен ∑ произв-ий эл-ов i -той строки матр А на соответствующие эл-ты k -того столбца матр В.

 Если выполняется равенство АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными (коммутирующими)

Матр,получ. из данной заменой кажд ее строки столбц с тем же номером,наз. транспон-ой к данной.

Св-ва умножения:

1.А·(ВС)=(АВ)С

2. А(В+С)=АВ+ВС

3. (А+В)С=АС+ВС

4. α(АВ)=(αА)В

Св-ва транспонирования :

1.(А+В)^т=А^т+В^т

2. (АВ)^т=В·А^т

3. (А^т) ^т= А

Квадратная матрица А, которая не меняется при транспонировании, - симметричная.

Если матрица симметрична, то эл-ты, равноудаленные от главной диагонали, совпадают.

А= 2 5 -2

    5 -7 3

    -2 3 1

Опред-ль 1,2,3 порядков.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A , называемое ее определителем следующим образом:

1. n=1. A=(a₁); det A=a₁

2. n=2.

3. n=3.

6.Свойства определителей.

Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то det

Этой матрицы равен 0

При транспонировании матрицы её определитель не

изменяется: ( det А = det А')

При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её

Доказательство – проверкой.

9) det верхней треуг. матрицы = произведению диагональных эл-тов.

10) det A * B = detA * detB

7.Обратная матрица

Обр матр — такая матр A^-1, при умн-и на кот исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA⁻¹ = A⁻¹A = E

Теорема : для того, чтобы для кв.м.А сущ-ла обр, дост-но чтобы опр-ль этой м. был отличен от 0.(Кв матр обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. её опр-ль не равен 0. Для некв матриц обр матриц не сущ-т.)

Доказательство:

Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A^-1.

detA^-1*A=detE => detA≠ 0.

Достаточность .

по м.А строим А^*

 где А^* - м. алгебраических дополнений                  А^*

транспонируем полученную матрицу:      (А^*)^Т=

найдем А* (А^*)^Т=С, Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

следовательно А* (А^*)^Т= detA * E =>   =>

Сформ-м правило нах-я обр матр на примере матр А.

1. Находим опр-ль матр. Если Δ ≠0, то матр A ^-1 сущ-т.

2. Составим матрицу A ^* алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице A ^* элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исх матрицы.

3. Транспонируем матрицу A ^* и получим A ^{* T}

4)

5 проверка A ^-1 * A = E

8.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матр. Ранг матр и его св-ва. Теорема о ранге матр. Вычисление ранга.

А - прямоуг матрица размеров m*n.

Выбираем в матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля, называется рангом матрицы. (обозначается r(A))

нек. св-ва: 1) r ( A )=0 => A =0

            2)

3) ранг верхней треугольной м. = числу диагональных эл-тов гл. диагонали неравных нулю.

 ранг трапециевидной матрицы= числу диагональных эл-тов главного базисного минора.

Метод Крамера.

Т: Пусть задана СЛАУ AX = B , m Ур-й с n неизв-ми, где осн матр А невырожд-я, то реш-я м. б. найдены по ф-лам:

xi = ∆ i / ∆ , i =1 ; n

∆= detA , ∆ i – это знач-е опр-ля, получ из матр А заменой i -того столбца на матрицу-столбец В.

Док-во:

Т.к. матр невырожд, то сущ обр матр A ‾¹, то согласно вышеизлож т-ме, можно реш-е записать в виде:

a 11 a 21 ….. a m1 a 12 a 22…….. a m2 ………………………….. a 1n a 2n…… a mn

b 1 b 2 ….. b n

Х = A‾¹*B

a 11 b 1 + a 21 b 2 + . ……….  + a n1 b n a 12 b 1 + a 22 b 2 + … …… + a n2 b n a 1n b 1 + a 2n b 2 + ………… + a nn b n

X=B*(1/detA)* A  ^т  = (1/detA)* *                             *               = (1/detA) *

и это =                                          = (1/∆) *

 

 

                                                       

 

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы СЛАУ, где AX = B , где матр A разм-ти m * n была совместной необх-мо и дост-но, чтобы ранг осн матр системы был равен рангу расшир матр системы.

r(A) = r(A/B)

Док-во :

Необходимость: пусть СЛАУ AX = B совместна.

Доказать, что ранги равны.

Сущ набор чисел (α1, α2…..αn), что будучи подставл в каждое из ур-й системы получим:

N-мерное вект простр-во.

n -мерное вект пространство-совокупность всех n -мерных векторов,рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения и умножения на число,подчиняющимися законам билет№13. Если координаты векторов- вещественные числа,то пространство называют арифметическим. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат этих вект ,т.е. . Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,когда векторы неортогональны.Длина вектора равна

16.Лин зав-ть n-векторов. Ранг. Базис.

Система векторов (1.1)наз линейно зависимой, если сущ такие числа , из кот хотя бы одно отлично от нуля,что Если среди векторов системы есть нулевой вектор,то система линейно зависима.

Ранг системы есть максимальное число линейно незавасимых векторов системы.Система ,состоящая более чем из n -мерных векторов,линейно зависима.Набор любых n линейно независимых векторов n -мерного пространства называется базисом этого пространства.

21.Уравнение прямой -уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.

Векторное уравнение прямой: пусть на прямой задана точка М_о(х_о;у_о) и задан нормальный вектор n =(А;В)

На данной прямой выбрать произвольную точку М(х;у) и рассмотреть вектор М_оМ= r . Вектор n перпендикулярен вектору r , следовательно n * r _о =0 (1) – векторное уравнение прямой.

В уравнении (1) вектор n =(А;В), а вектор r _о =(х-х_о;у-у_о), подставим и получим

А(х-х_о)+В(у-у_о)=0 - уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору. Раскроем скобки, получим Ах-Ах_о+Ву-Ву_о=0;

Ах +Ву+(-Ву_о-Ах_о) =0. Обозначим -Ву_о-Ах_о =С.

22.Из общего уравнения прямой на плоскости Ах+Ву+С=0:

Ву=-Ах-С (А,В,С не равно 0)

У=(-А/В)*х-С/В

k = -А/В= tgα

у= k х+ b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Точка М_о(х_о;у_о) принадлежит данной прямой. Тогда у= k х+ b минус у_о= k х_о+ b получаем:

 у-у_о= k (х-х_о) – кравнение прямой проходящейчерез данную точку в заданном направлении.

Пусть заданно уравнение прямой у= k х+ b и М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂), то у₁= k х₁+ b , у₂= k х₂+ b

Перейдем к скалярной форме

M 0 M =( x - x 0; y - y 0; z - z 0)

A ( x - x 0)+ B ( y - y 0)+ C ( z - z 0)=0; (2)

Получим Ax + By + Cz + D =0 (3)-общее Ур-е плоскости

D=-(Ax0+By0+Cz0)

A,B,C,D неравно 0

Ax + By + Cz =- D делим на – D

x /(- D / A )+ y /(- D / B )+ z /(- D / C )=1

x / a + y / b + z / c =1 (4) – Ур-е пл-ти где a , b , c -отрезки отсек плоскостью на осях Oy , Ox соответственно.

Это точка M 0( x 0, y 0, z 0)

Это точка M ( x , y , z )

вектор M 0 M =( x - x 0; y - y 0; z - z 0)

Векторы M 0 M // S

( x - x 0)/ k =( y - y 0)/ e =( t - t 0)/ m это каноническое

Введем параметр t Є R и положим ( x - x 0)/ k =( y - y 0)/ e =( z - z 0)/ m = t , t Є R

x = x 0+ kt

y = y 0+ et это все параметрич ур-я прямой в пр-ве

z = z 0+ mt

Ур-я вида

A 1 x + B 1 y + C 1 Z + D 1=0  это общие ур-я

A 2 x + B 2 y + C 2 Z + D 2=0 прямой в пространстве

Условие перпенд-ти

Если пр перп-на пл-ти,то ее направл в-р S кол-н норм в-ру пл-ти S // N             A / k = B / e = C / m

Условие принадлежности прямой к плоскости:

Ax0+By0+Cz0+D=0                Ak+Be+Cm=0

36.Предел числовой последовательности (ЧП) .

ЧП – это ф-ия натур аргумента x_n = f ( n ),где n принадлежит N .

x _1, x _2, … x_n ,…-числ послед.(1), x_n -общ член ЧП.

Число а наз пределом посл-ти, если для любого малого положит числа ξ > 0 сущ такой номер N , зависящий от ξ, что для всех номеров n > N выполняется неравенство | x_n -а|< ξ.

Замечание. | x_n -а|< ξ=> а- ξ< x ₁ <а+ ξ, X_n - ξ< a < x_n + ξ – ξ окрестности т.а

Если число а-предел ЧП(1), то все члены посл-ти, начиная с некот номера N , попадают в ξ-окрестность т.а.Чем больше N ,тем ниже а.

Если а-предел числ. послед-ти(1), то пишут: lim x_n = a или x_n → a , n →∞

Свойства числ. последовательности:

1.Если ЧП с общ членом x_n имеет предел, то она наз сходящейся.Всякая сход посл-ть огран, т.е. сущ M >0, что все члены этой П по модулю не превосх это число. | x_n |<М

2. Пусть заданы 3 П, x_{n ,} y_n , z_n -общие члены. Причем lim x_{n =} lim z_{n =} а и выполняется неравенство: x_n ≤ y_n ≤ z_{n ,} то lim y_n =а.

3. Пусть послед. x_{n ,} y_n имеют конечные пределы lim x_n =а lim y_n =в -∞<а,в<+∞. Тогда:

a) lim ( x_n ± y_{n )} = limx_n ± lim y_{n )} -справ для люб кон числа П

b) lim(x_n*y_n)= limx_n*limy_n

c) lim(Cx_n)=C limCx_n=C*a.

d) lim = = , b≠0.

Посл α _n наз бескон малой, если ее предел = 0, т.е. lim α _n =0

Послед. β _n наз бесконечно большой, если ее предел = ∞.

Утверждение .Если послед. α _n -беск. малая, то послед. - беск. большая и наоборот.

 В курсах матанализа док-ся, что П {Хn}= монот и огранич.По теореме: для того, чтобы монот сходилась, необхмо и достаточно, чтобы она была огранич. След-но, эта П имеет предел. Он обозначается буквой е: е=lim , причем е=2,718.

 

37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.

Рассм мн-во Х, сост из эл-ов х, и мн-во У, сост из эл-ов у. Если кажд Эл-ту х из Х по опред правилу f поставлен в соответствие единств эл-т f ( x ) из У, то гов-т, что на мн-ве Х задана ф-я y = f ( x ) со знач-ми в мн-ве У; пишут также: f :Х У или х f ( x ). При этом у наз завис перем-й, х-незав перем-й (или арг-м). Мн-во Х наз обл-тью опред-я(или сущ-я) ф-ии.

Пусть на некот мн. Х опр-на ф-я f ( x ), тогда знач-е этой ф-и, соответствующее некот знач-ю арг-та , обозн-ся . Например, f ( x )= , то f (2)=8, f (-2)=-8.

Ф-я у= f ( x ) наз неубыв (невозраст) на мн-ве Х, если для люб   , удовлетв усл-ю , справ-во нер-во Неубыв и невозраст ф-и наз монотонными.

Если для люб , удовлетв усл-ю , справ-во нер-во , то ф-я y = f ( x ) наз возраст (убыв) на мн-ве Х. Возраст и убыв ф-и наз строго монотонными.

Ф-я, все знач-я кот = между собой, наз пост-й. Ф-я, опред на мнве Х, наз огранич на этом мн-ве, если найдется число М>0, такое, что Напр, ф-я y = sinx огран на всей числовой прямой, т.к.  для любого х.

На пл-т и ф-я изобр-ся в виде графика-мн-ва точек (х,у), корд-ы кот связаны соотношением y = f ( x ), наз ур-м гр-ка.

Ф-ия наз сложной, если ее арг-т в свою очередь явл ф-ей др переем-й, т.е. если на некот мн-ве Х опред-на ф-я  с мн-ом значений Z , а на мн-ве Z опред-на ф-я y = f ( z ), то наз сложной ф-ей от х, а переменная z -промежут переменной сложной ф-ии. Прим-ся также и др названия: композиция ф-й  и f , суперпозиция ф-й  и f . Напр, ф-я y = sin 3 x -сложная ф-я, опред на всей числ прямой, т.к. y = f ( z )= sinz , z = ( x )=3 x .

Пусть ф-я y = f ( x ) задана на мн-ве Х= , а У= -мн-во ее знач-й. Тогда кажд х Х по з-ну f став-ся в соответств ие единств значение у У. С др стороны, кажд у У будет соотв-ть одно или несколько значений х Х. В случае, когда кажд зн-ю у У соотв-т только 1 зн-е х Х, для кот f ( x )= y , на мн-ве У можно опред ф-ю х= (у), мн-ом значений кот явл мн-во Х.

Эту ф-ю наз обр по отношению к ф-и y = f ( x ).

Теорема:

Док-во:

;

Очевидно:

sinx<=x<=tgx

Т . к .

; ;

Следствия из теоремы:

1. 2.

Второй замечательный предел:

Е-число Эйлера,

Если

40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

Пусть у= f ( x ) задана в некотором множестве х, тогда функция называется непрерывной в точке , если  , x     x

т. е. функция f ( x ) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, односторонние пределы существуют, являются конечными цифрами между собой и равны значению функции в этой точке.

Если у= f ( x ) непрерИвна в каждой точке множества х, то она непрерИвна на этом множестве.

Его обознач-т

Эластич-ть относ-но х есть приближен.процентн прирост ф-ции (повышение/ пониж-е) при приращении независ переменной на 1%.

45.Производная показательной неявной функции.Производные высших порядков:

                                         

Производная показательной функции:

При  для любого х

Правило Лопиталя:

Пусть ф-и f ( x ) и g ( x ) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределов  при x →  для раскрытия неопред-тей вида  или   удобно применить пр. Лопиталя :

,

 Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, , ,  часто удается свести к неопределенностям вида или  с помощью различных преобразований.

55.Понятие функции многих переменных

Пусть имеется n -перем-х и каждому х₁, х₂… х _n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z , тогда на множ-ве х задана ф-ция Z = f (х₁, х₂… х _n ) многих переменных.

Х – обл-ть опред-я ф-ции

х₁, х₂… х _n – независ-е переем-е (аргументы)

Z – ф-ция  Пример: Z =П х²₁*х₂ (Объем цилиндра)

Рассм-м Z = f (х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х₁, х₂ замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.

Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.

Пример: х = х₀, зн. пл-ть Х || 0у z у = у₀ 0х z Вид ф-ции: Z = f (х₀, y ); Z = f ( x ,у₀)

Например: Z = x ² + y ² -2 y

  Z = x ² +( y -1)²-1 x =0 Z =( y -1)²-1 y =1 Z = x ² -1 Z =0 x ² +( y -1)²-1

                   Парабола окруж-ть(центр(0;1)

       

       

       

Условный экстремум

Пусть дана функция 2-х переменных z = f ( x , y ), аргументы которой х и у связаны соотношением g ( x , y )=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f ( x , y ) при условии, что g ( x , y )=0, называется задачей на условный экстремум.

Строим функцию

-функция 3-х переменных

Находим частные производные:

  Находим точки экстремумов

Далее - проверка достаточности условий для функции 3-х переменных, строим опред-ль 3-го порядка из вторых произв-х в т. .

63.М-д наим квадр-в. Выравн-е эмпирич данных по прямой

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f ( x ) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.

Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f ( x ) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f ( x ) от соответствующих опытных знач-й .

Рассм-м функцию

 (т.е. сумму квадратов всех невязок)

Пусть в кач-ве ф-и у = f ( x ) взята лин ф-я у = ax + b . Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b , при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S ( a , b ) есть ф-я 2-х переем-х a и b , а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S ( a , b ) на экстремумах.

Находим частные производные

или

 

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений

 т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S ( a , b ) достигает своего min при a и b , найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

 

функция достигает min (глобальный min ).

64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f ( x ) и F ( x ) определены на интервале ( a ; b ). Если функция F ( x ) имеет производную на интервале ( a ; b ) и для всех x ? ( a ; b ) выполняется равенство F ’( x ) = f ( x ), то функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ) на интервале ( a ; b ).

Т.: Если F ( x ) первооб-я ф-и f ( x ), то F ( x )+С тоже пер-я.

О. Мн-во всех перв-х ф-й F ( x )+С для данной ф-и f ( x ) наз. неопред интегр ф-и f ( x ) обозн-ся

Св-ва НИ:

 

67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)                                  

М-д подстановки

∫f(x)dx= [x= φ (t),t= ψ (x) , dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x = φ ( t ),где t = ψ ( x ) явл. обратной по отношению к φ ( t ), dx = φ ’( t ) dt - дифференциал ф-ции x = φ ( t )

А) н/с интеграл с бесконечным верхним пределом инт.

О1. У= f ( x ), хЄ[a;+ ¥ ) , где а- конечное число. Ф-ция f(x) и интегрируема на любом отрезке [а; B ] Ì [a;+ ¥ ). (1)  --н/с интеграл с бесконечным верхним пределом

Б) н/с интеграл с бесконечным нижним пределом

О3 .  у= f(x) (-∞; b ) , которая определена и интегрируемана [А;В]с(-∞; b )

(2) -- н /с интеграл с бесконечным нижним пр.

В) н/с интеграл с двумя бесконечн. пределами интегр.

О5. у = f ( x ) (-∞; +∞ ), ( А ; В ) с(-∞;+∞)

(3) --н/с интеграл с 2мя бесконечн пределам и

Можно переписать как

(4) где -∞<С<+∞ , (3)=(4)

Исследование сходимости интеграла  

1) α=-1, тогда =

2) α=-1  интеграл расходится

Вывод: н/с интеграл сходится если α<-1, расходится если α≥-1

И. на конечном промежутке

А)пусть ф-ция f ( x ) определена на конечном промежутке [ a , b ) и интегрируема на любом отрезке [ a , x ] Ì [ a , b )

Б)н/с и нтеграл от разрывных функции

пусть задана ф-ция у= f ( x ) [ a ; b ], причем c Î [ a ; b ], такая, что ф-ции f(x) в этой точке имеет бесконечный разрыв ( x = c – точка разрыва второго рода) , тогда --н/с интеграл от разрывной ф-ции

Е сли оба предела в правой части существуют и явл конечными числами, то н/с интеграл разрывн ф-ции назыв сходящимся, а если один из пределов не сущ. или =∞, то н/с интеграл наз. расходящимся

82.Дифференциальное уравнение(ДУ)

Осн.понятия

Демографическая модель

 Из статистики известно, что для конкр региона число рожд и умерш за ед врем проп-но числ-ти населения с коэф. Проп-ти k ₁ , k ₂ . Найти закон измен числ-ти населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.

Реш. Пусть y = y ( t ) –число жителей региона в момент времени t.

∆у – прирост населения за время ∆t

где k = k ₁ - k ₂

Разделим на ∆t

 ,       

y ’= ky , где k=k1-k2 y = ce^kx

ДУ 1го порядка

Имеют вид: y ’= f ( x , y ) (1) F ( x , y , y ’)=0 (2)

1) y’=f(x) dy / dx=f(x)

dy=f(x)dx   ò dy= ò f(x)dx y= ò f(x)dx

2) y’=f(y) dy/dx=f(y)

 

3) f ( x ) dx = f ( y ) dy ДУ с разделенными переменными ò f ( x ) dx = ò f ( y ) dy

4) y ’= f ( x ) gy или M ( x ) N ( y ) d ( x )= K ( x ) L ( y ) d ( y )

Реш с помо щ ью подстановки

z = y / x y = zx y ’= z ’ _x x + z

z ’ x + z = g ( z ) d ( z )/( g ( z )- z )= d ( x )/ x

6) y ’= f ( ax + by ) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z = ax + by

Теорема (Коши-Пикара). Пусть задано диффе­ренциальное уравнение вида y ’= f (х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M ₀ ( x _0, y ₀ )ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;- b >0) и для них замкнутую область : |х - x ₀ |≤ а, |у- у₀|≤ b , такую, что Ì D . Пусть в области  ф-я z=f(x,y):

1)непрерывна, а значит, и ограничена, т .е. |f-(x, y)|≤ H ;

2)имеет частную произв-ю по y  для любой точки

М(х, у) Î  и эта частная производная также огра­ничена в . Тогда сущ решение задачи Коши для начал условий М₀(х₀, у₀): y = j ( x ), y ₀ = j ( x ₀ ), это решение единств, причем функция у= j (х), оста­ваясь решением уравнения y ^{( n )} = f ( x , y , y ’,…, y ^{( n -1)} ) , задана, по крайней мере, на отрезке |х- x ₀ |≤ h , где h=min(а, b/Н) и | j ( x )- y ₀ |≤ b .

Линейные ДУ 1 порядка.

Общий вид линейного ДУ 1 порядка:

y `+ p ( x ) y = q ( x )

1).если q ( x ) ,то y `+ p ( x ) y =0 – однор. лин. ДУ 1 порядка

2)если q ( x ) 0, то ДУ – неоднородное линейное ДУ

Решение 2):

Y = uv , u = u ( x ), v = v ( x ); y `= u ` v + uv `

U`v+uv`+ p(x)uv=q(x); u`v+u(v`+ p(x)v)=q(x);

       

_{dv / dx =- p ( x ) v ,решаем и получим: v =}  

_{подставим v в u ` v = q ( x ) получим u =}

_{отсюда общее решение :}

_{y = uv =( )*}

88.ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка

1. y ``= f ( x ), y `= p ,где p = p ( x ); y ``= p `; p `= f ( x ); dp / dx = f ( x ) отсюда p = ; y `= ; dy / dx = ; dy = ) dx интегрируем,:

2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`

p `= f ( x , p ( x )); интегрируем, p =  

подставляем y `, все аналогично отсюда ответ:

y =

3. y ``= f ( y , y `), y `= p ; p = p ( y ) – сложная ф-я y

y ``= p ` y `= p ` p ; p ` p = f ( y , p ) или ( dp / dy )* p ( y )= f ( y , p ( y )).

P =

P заменяем на y ` получим

x =

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D >0 тогда общее решение:

y = C 1 C 1, C 2 прин. R

2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D =0

y = C 1, C 2 прин. R

3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-β i ; λ2= α+β i ;

y = C 1 C 1, C 2 прин. R

92,93Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение y ´´+ py ´+ qy = r ( x ) /где p, q ? R , r ( x )-функция.

которое имеет вид y = yO + y Ч, где

yO -общее решение уравнения y ´´+ py ´+ qy =0

y Ч-частное решение уравнения y ´´+ py ´+ qy = r ( x ) , которое зависит

Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).

Сумма вида =

                 = + = +

                  = + +… = +

Свойства сходящихся рядов

Пусть задан ряд (1),если в ряде 1 отбросить первые n членов , то пол-м ряд (3) = + +…+ … , кот наз остатком ряда (1)

ТЕОРЕМА:

СЛЕДСТВИЕ:

Доказательство.

Пусть ряд S - сумма ряда 1(т.к по условию ряд сходится).т.е = S

= -      = -

Следствие: если не стремится к 0 ,при n →  , ряд 1 расходится

Свойства степенных рядов .

Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть задана f ( x ) в окрестности точки x = x ₀ . Предп-м, что f ( x ) разл-ся в ряд по степеням ( x - x ₀ ): т.е. ряд имеет вид

f(x)= a₀ + a₁( x - x₀)+ a₂( x - x₀)²+…+ a_n( x - x₀)ⁿ +… с радиусом сх - ти R ,(| x - x₀ |<R). Этот ряд на инт-ле сх-ти | x - x ₀ |< R можно дифференцировать бесконечное число раз:

f ⁿ(x)=n∙(n-1)∙ …∙ a_n+(n+1) ∙n∙…∙3∙2a_n+1∙( x - x₀) +…

Положим в каждом равенстве x = x ₀ . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a₀=f(x₀), a₁=(f ’(x₀))/1!, a₂=(f ’’(x₀))/2!,… a_n =( f ⁿ ( x ₀ ))/ n !

 

Итак, если функция f ( x ) разлагается в ряд по степеням ( x - x ₀ ), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Опр-е . Степ ряд такого вида наз рядом Тейлора ф-и f ( x ) в т. x ₀ . Если x ₀ = 0 , то такой ряд наз рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если ф-я f ( x ) и ее произв-е любого порядка ограничены в окр-ти т. x _0: (| x - x ₀ |< R ) одним и тем же числом   M, то ее ряд Тейлора сх-ся к самой f ( x ) для любого x из этой окр-ти | x - x ₀ |< R . Если ф-я f ( x ) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Осн св-ва опред интеграла

 Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Если , x ? [ a ; b ]

99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида  (1)

Наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Элементы, стоящие по диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ; из верхнего правого – побочную.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: