Находим частные производные

или

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений

т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S ( a , b ) достигает своего min при a и b , найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min ).

64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f ( x ) и F ( x ) определены на интервале ( a ; b ). Если функция F ( x ) имеет производную на интервале ( a ; b ) и для всех x ? ( a ; b ) выполняется равенство F ’( x ) = f ( x ), то функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ) на интервале ( a ; b ).

Т.: Если F ( x ) первооб-я ф-и f ( x ), то F ( x )+С тоже пер-я.

О. Мн-во всех перв-х ф-й F ( x )+С для данной ф-и f ( x ) наз. неопред интегр ф-и f ( x ) обозн-ся

Св-ва НИ:

67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)

М-д подстановки

∫f(x)dx= [x= φ (t),t= ψ (x) , dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x = φ ( t ),где t = ψ ( x ) явл. обратной по отношению к φ ( t ), dx = φ ’( t ) dt - дифференциал ф-ции x = φ ( t )

Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x = φ ( t ) непрерывна и монотонна,то обратн. t = ψ ( x ) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t ,следует вернуться к переменной x

∫f( ψ (x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t= ψ (x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x) ,известно: d(UV)=VdU+UdV

проинтегрируем обе части уравнения:

∫ d ( UV )= ∫ VdU + ∫ UdV

UV =∫ VdU + ∫ UdV => ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m ( x ) dx , ∫ arcsin^mxdx , ∫ arccos^m xdx ,∫ arctg^m xdx

2 ∫ Pn ( x ) lnaxdx ,∫ Pn ( x ) e^axdx ,∫ Pn ( x ) sinaxdx ,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ф-я вида , где x наз интегралом c перем верхним пределом.