Ранг матр не изменится от след преобр-й, наз элемент преобраз-ми матрицы

: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой =0; - умножения строки на число, отличное от 0; - прибавления к эл-м строки соответствующих Эл-ов другой строки, умнож на одно и то же число. Ранг находят привидением её к треуг(трапециев) виду с пом этих элемент преобраз-ий

Теорема о ранге : наивысший порядок отличных от 0 миноров матрицы равен рангу этой матрицы

9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.

В общ виде сист m -лин Ур-ий с n неизв-ми имеет вид

Если b 1 = b 2 = bm = ……..= 0, то такая система наз однор, если одно хотя бы из этих чисел не 0, то это система неоднор.

Введём обозначения:

			- основная матрица системы

A =

- матрица-столбец неизвестных

X =

- матрица-столбец свободных членов или правая часть системы

B =

AX = B

( A / B )=

О. Упорядоч набор чисел (с1, с2, ……. cn ) таких, что будучи подставл в каждое из ур-й сист, они обр-т их в верные рав-ва (тожд-ва), наз решением системы.

О. Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной (решений нет).

О. Если совместная сист имеет единств реш-е, то она наз опред. Если же реш-й много (не один набор), то неопределённой.

Метод обратной матрицы .

Т.: Пусть задана СЛАУ AX = B n ур-й с n неизв-ми (матр А – кв, разм-ти n * m ), след-но, если опр-ль матр отличен от 0 ( det A ≠ 0, A – неособ, невырожд), то СЛАУ имеет реш-е, кот можно найти по ф-ле: X = A ‾¹* B

Док-во:

A ‾¹*А*Х = A ‾¹* B , т.к. A ‾¹*А=Е

Е*Х= A ‾¹* B

Метод Крамера.

Т: Пусть задана СЛАУ AX = B , m Ур-й с n неизв-ми, где осн матр А невырожд-я, то реш-я м. б. найдены по ф-лам:

xi = ∆ i / ∆ , i =1 ; n

∆= detA , ∆ i – это знач-е опр-ля, получ из матр А заменой i -того столбца на матрицу-столбец В.

Док-во:

Т.к. матр невырожд, то сущ обр матр A ‾¹, то согласно вышеизлож т-ме, можно реш-е записать в виде:

a 11 a 21 ….. a m1 a 12 a 22…….. a m2 ………………………….. a 1n a 2n…… a mn

b 1 b 2 ….. b n

Х = A‾¹*B

a 11 b 1 + a 21 b 2 + . ……….  + a n1 b n a 12 b 1 + a 22 b 2 + … …… + a n2 b n a 1n b 1 + a 2n b 2 + ………… + a nn b n

X=B*(1/detA)* A  ^т  = (1/detA)* *                             *               = (1/detA) *

и это =                                          = (1/∆) *

 

 

                                                       

 

Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.

Эквивал преобразования СЛАУ:

1. Умн-е любого из ур-й сист на одно и то же число ≠ 0.

Перестановка уравнений системы.

Сл-е любых 2-ух Ур-й сист с предварит умн-м одного из них на любое действит число.

4. удаление уравнений вида: 0 x 1+0 x 2+……+0 xn =0

Т: эквивал преобраз-я 1-4 не нарушают равнос-ти систем. Эквивал преобраз-я СЛАУ 1-4 равнос-ны эквивал преобраз-ям матр A / B (1. умн-е эл-ов матр или строки матр на одно и то же число ≠ 0; 2. перестановка любых 2-х строк матр; 3. сл-е любых 2-х строк матр с предварит умн-м одной из них на любое действит число; 4.уд-е нул строки.)

Метод Гаусса позволяет решать сист m Ур-й с n неизв-ми.

По исх сист записываем расшир матр системы.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: