Производная неявной функции:

При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение . Отсюда получим формулу для производной функции  , заданной неявно: = . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением  :

, .

Производные высших порядков:

Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))'

47.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Теорема Лагранжа:

Т-ма: Пусть задана ф-я  и пусть она: 1) опр-на и непрер на ; 2) имеет кон произв-ю  на . Тогда найдётся такая т. с ( a < c < b ), что вып-ся рав-во

Док-во: Введём вспомогат функцию

Она удовл-т всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F ( x ) опред-на и непрер на , ,

,

т.е. сущ на . След-но, найдётся точка с ( a < c < b ), такая, что F ’( c ) = 0, т.е.

 или

Тогда  ∆

Правило Лопиталя:

Пусть ф-и f ( x ) и g ( x ) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределов  при x →  для раскрытия неопред-тей вида  или   удобно применить пр. Лопиталя :

,

 Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, , ,  часто удается свести к неопределенностям вида или  с помощью различных преобразований.

55.Понятие функции многих переменных

Пусть имеется n -перем-х и каждому х₁, х₂… х _n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z , тогда на множ-ве х задана ф-ция Z = f (х₁, х₂… х _n ) многих переменных.

Х – обл-ть опред-я ф-ции

х₁, х₂… х _n – независ-е переем-е (аргументы)

Z – ф-ция  Пример: Z =П х²₁*х₂ (Объем цилиндра)

Рассм-м Z = f (х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х₁, х₂ замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.

Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.

Пример: х = х₀, зн. пл-ть Х || 0у z у = у₀ 0х z Вид ф-ции: Z = f (х₀, y ); Z = f ( x ,у₀)

Например: Z = x ² + y ² -2 y

  Z = x ² +( y -1)²-1 x =0 Z =( y -1)²-1 y =1 Z = x ² -1 Z =0 x ² +( y -1)²-1

                   Парабола окруж-ть(центр(0;1)

       

       

       

Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных

Пусть задана Z = f (х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х₀, y ₀ ), если для любого сколь угодно малого положит. числа E >0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих | x -х₀|<б; | y - y ₀ |<б выполняется нерав-во | f ( x , y )- A |< E

Z = f (х;у) непрерывна в т.(х₀, y ₀ ), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х₀ и у к у₀; - этот предел = знач-ю

ф-ции в т.(х₀, y ₀ ), т.е. limf (х;у)= f (х₀, y ₀ )

Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области

Частные производные первого и второго порядка

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: