Матрицы равны между собой, если равны их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Матрица размера n · n - матрица n -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю – диагональная.

Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, единичная.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, - нулевая.( обозначается буквой О)

Матрица, содержащая один столбец или одну строку – вектор.

2.Умножение матрицы на число

Пусть задана матрица А= aij i =1, m ; j =1, n ; α принадлежит R . Чтобы умножить матрицу А на число α, нужно кадый Эл-т матрицы умножить на это число α .

С=(α aij )

Сложение матриц

Пусть заданы А= aij и В= bij одинаковой размерности i =1, m ; j =1, n . Тогда суммой двух этих матриц называется матрица С=с ij . Другими словами, нужно сложить соответствующие эл-ты. Кратко: С=А+В

Св-ва:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1·А=А

6. α·(А+В)=αА+αВ

7. (α+β)·А=αА+βА

8. α·(βА)=(βα)·А

3.Умножение матриц

Матр А и В соглас-е, если число строк матр А равно числу столбцов матр В, и наоборот.

Оп-ция умн-я матриц определена только для соглас. матриц.

Кв матрицы одного и того же порядка и одной и той же размерности всегда согласованны.

Пусть задана матр А= aik i =1, m ; k =1, n и матр В= bkj k =1, m ; j =1, n . Тогда произв-ем А на В наз. матр С такая, что с ik = ai 1· b 1 k + ai 2· b 2 k +…+ ain · bnk , где i =1, m ; k =1, n , т.е. эл-т i -той строки и k -того столбца матрицы произв-ия С равен ∑ произв-ий эл-ов i -той строки матр А на соответствующие эл-ты k -того столбца матр В.

 Если выполняется равенство АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными (коммутирующими)

Матр,получ. из данной заменой кажд ее строки столбц с тем же номером,наз. транспон-ой к данной.

Св-ва умножения:

1.А·(ВС)=(АВ)С

2. А(В+С)=АВ+ВС

3. (А+В)С=АС+ВС

4. α(АВ)=(αА)В

Св-ва транспонирования :

1.(А+В)^т=А^т+В^т

2. (АВ)^т=В·А^т

3. (А^т) ^т= А

Квадратная матрица А, которая не меняется при транспонировании, - симметричная.

Если матрица симметрична, то эл-ты, равноудаленные от главной диагонали, совпадают.

А= 2 5 -2

    5 -7 3

    -2 3 1

Опред-ль 1,2,3 порядков.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A , называемое ее определителем следующим образом:

1. n=1. A=(a₁); det A=a₁

2. n=2.

3. n=3.

6.Свойства определителей.

Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то det

Этой матрицы равен 0

При транспонировании матрицы её определитель не

изменяется: ( det А = det А')

При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её

Определитель меняет свой знак на противоположный

Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: