Как и в случае функции одной переменной, точки, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или точками, подозрительными на экстремум.

Заметим, что равенство нулю частных производных первого порядка – условие недостаточное. Действительно, рассмотрим, например, функцию z = xy . Частные производные и равны 0 в точке (0,0), однако она не является точкой экстремума (так как в ее окружности функция z = xy может принимать и положительные значения).

Т.(достаточные условия экстремума)

Пусть функция z = f ( x , y ) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда

1) , причем max , если A <0, min , если A >0.

2) , экстр-ма в т.  нет

3)  , треб-ся доп исслед-е

Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных z = f ( x , y ) в непрерывном на некотором замкнутом множестве Х (глобальный max и глобальный min ) достигают в точках или в точках экстремумов, или на границе области.

Условный экстремум

Пусть дана функция 2-х переменных z = f ( x , y ), аргументы которой х и у связаны соотношением g ( x , y )=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f ( x , y ) при условии, что g ( x , y )=0, называется задачей на условный экстремум.

Из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след

а) ур-е связи

z = f ( x , ), получаем функцию одной переменной.

б) Метод множителей Лагранжа

Строим функцию

-функция 3-х переменных

Находим частные производные:

  Находим точки экстремумов

Далее - проверка достаточности условий для функции 3-х переменных, строим опред-ль 3-го порядка из вторых произв-х в т. .

63.М-д наим квадр-в. Выравн-е эмпирич данных по прямой

На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент завис-тей.

Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально

X        …      …

Y        …      …

Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f ( x ).

О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.

Задача нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f ( x ) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.

Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f ( x ) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f ( x ) от соответствующих опытных знач-й .

Рассм-м функцию

 (т.е. сумму квадратов всех невязок)

Пусть в кач-ве ф-и у = f ( x ) взята лин ф-я у = ax + b . Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b , при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S ( a , b ) есть ф-я 2-х переем-х a и b , а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S ( a , b ) на экстремумах.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: