Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть  непрерывна на , а  непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

                        

Геометрич приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур:

1.  на  и

                          

2.  на  и

3.  на  график имеет вид

                    

                           

4. даны две функции:  и  на промежутке  

                      

5.    на промежутке  то получаем      

6.  и  на промежутке  (графики ориентированны на )                  

7.вычисление площади плоской фигуры заданной системе координат. В полярной системе точка это пара чисел , любая линия равна .

                                   

 Уравнение Лемниската-Берлуни

                     

9. Вычисление длины дуги кривой. Пусть заданна  на .

              

78-80. Определенный интеграл в экономических и физических задачах

1)Вычисление объема произведенной продукции. Известно, что производительность труда в течение рабочего дня меняется. Предположим, что известна непрерывная функ­ция f ( x ), которая характеризует измерение производительности от вре­мени . Определить объем продукции, произведенной рабочим за про­межуток времени от t ₁ до t ₂ . Решение. Искомый объем можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенной за бесконечно малые отрезки вре­мени. Возьмем разбиение { x_k } отрезка [ t ₁ , t ₂ ] . В этом случае предел интегральных сумм при диаметре d ® 0 разбиений { x_k } отрезка [ t1,t2 ] даст искомый объем продукции. Этот предел существует, так как функция f ( x ) н епрерывная, т.е.

Определение средних значений

вспомним теорему о среднем значении, т.е. формулу     

Число называется средним значением ф-ции f(x) на отрезке [ a,b ] . На практике нередко вычисляются такого рода средние значения как средняя пр-ность труда, ср. мощность электродвигателей и т.д.

Издержек производства           

81.Несобственные(н/с) интегралы.

Интегралы с бесконечными пределами

А) н/с интеграл с бесконечным верхним пределом инт.

О1. У= f ( x ), хЄ[a;+ ¥ ) , где а- конечное число. Ф-ция f(x) и интегрируема на любом отрезке [а; B ] Ì [a;+ ¥ ). (1)  --н/с интеграл с бесконечным верхним пределом

Иногда (1) называют н/с и. первого рода

О2. Если предел в правой части равенства (1) сущ. и явл. конечным числом, то н/с интеграл назыв. сходящимся, в противном случае – расходящимся

Б) н/с интеграл с бесконечным нижним пределом

О3 .  у= f(x) (-∞; b ) , которая определена и интегрируемана [А;В]с(-∞; b )

(2) -- н /с интеграл с бесконечным нижним пр.

О4. понятие сходимости аналогично

В) н/с интеграл с двумя бесконечн. пределами интегр.

О5. у = f ( x ) (-∞; +∞ ), ( А ; В ) с(-∞;+∞)

(3) --н/с интеграл с 2мя бесконечн пределам и

Можно переписать как

(4) где -∞<С<+∞ , (3)=(4)

Исследование сходимости интеграла  

1) α=-1, тогда =

2) α=-1  интеграл расходится

Вывод: н/с интеграл сходится если α<-1, расходится если α≥-1

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: