Реш с помо щ ью подстановки

z = y / x y = zx y ’= z ’ _x x + z

z ’ x + z = g ( z ) d ( z )/( g ( z )- z )= d ( x )/ x

6) y ’= f ( ax + by ) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z = ax + by

Теорема (Коши-Пикара). Пусть задано диффе­ренциальное уравнение вида y ’= f (х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M ₀ ( x _0, y ₀ )ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;- b >0) и для них замкнутую область : |х - x ₀ |≤ а, |у- у₀|≤ b , такую, что Ì D . Пусть в области  ф-я z=f(x,y):

1)непрерывна, а значит, и ограничена, т .е. |f-(x, y)|≤ H ;

2)имеет частную произв-ю по y  для любой точки

М(х, у) Î  и эта частная производная также огра­ничена в . Тогда сущ решение задачи Коши для начал условий М₀(х₀, у₀): y = j ( x ), y ₀ = j ( x ₀ ), это решение единств, причем функция у= j (х), оста­ваясь решением уравнения y ^{( n )} = f ( x , y , y ’,…, y ^{( n -1)} ) , задана, по крайней мере, на отрезке |х- x ₀ |≤ h , где h=min(а, b/Н) и | j ( x )- y ₀ |≤ b .

Доказательство этой теоремы не приводим.

Замечание. Поскольку реш-е у = j (х) задано для |х - х₀| ≤ h , т.е. – h + x ₀ ≤ x ≤ h + x ₀ , то если взять произвольную точку х₁ такую, что -h+ x ₀ < x ₁ < h+ x ₀ , и вычислить y ₁ = j ( x ₁ ), начальным условиям M₁(x₁,y₁) будет соответствовать то же решение у = j (х); измениться в этом случае может лишь h в неравенстве |х — х₁|≤ h.

Общее решение. Пусть в D Ì R² задано дифферен­циальное уравнение y’=f(х,у) и в любом Ì D выполня­ются условия теоремы Коши — Пикара. Тогда однопараметрическое семейство функций

у = j (х, С),непрерывно дифференцируемых по х и непрерывных по С в некоторой области Г(х, С), называется общим реше­нием уравнения в области D, если: 1) у = j (х, С) явля­ется решением уравнения y’=f(х,у) для всех фиксированных С из некоторой области G Ì R (на множествах X _с, таких, что для любых х Î X _с и у = j (х) (х, у) Î D); 2) для любых начальных условий М₀(х₀, y ₀ ) Î D существует такое С₀ Î G, что y ₀ = j (х₀, С₀), т. е. уравнение y’=f(х,у) дает реше­ние задачи Коши.

Осн классы ДУ 1 порядка, интегрир в квадратах.

1) ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида:

1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0

2. y `= f ( x ) g ( y )

Решаются по схеме:

1. Делим на N ( y ) K ( x ):

M ( x )/ K ( x ) dx + L ( y )/ N ( y ) dy =0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С)

2. dy / dx = f ( x ) g ( y ). Обе части * на dx и / на g ( y ), получим:

dy / g ( y )= f ( x ) dx и интегрируем обе части.

2) Однородные функции и однородные ДУ.

Функция f ( )= * g ( x , y ) наз. Однородной функцией k -того порядка, R .

ДУ вида y `= f ( x . y ) наз. Однородным, если z = f ( x , y ) – однородная функйия нулевой степени, т.е. для любых t f ( tx , ty )= f ( x , y ).Аналогично ДУ

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз . Однородным, если P ( x , y ) и Q ( x , y ) – однородные функции одной степени.

Линейные ДУ 1 порядка.

Общий вид линейного ДУ 1 порядка:

y `+ p ( x ) y = q ( x )

1).если q ( x ) ,то y `+ p ( x ) y =0 – однор. лин. ДУ 1 порядка

2)если q ( x ) 0, то ДУ – неоднородное линейное ДУ

Решение 2):

Y = uv , u = u ( x ), v = v ( x ); y `= u ` v + uv `

U`v+uv`+ p(x)uv=q(x); u`v+u(v`+ p(x)v)=q(x);

       

_{dv / dx =- p ( x ) v ,решаем и получим: v =}  

_{подставим v в u ` v = q ( x ) получим u =}

_{отсюда общее решение :}

_{y = uv =( )*}

88.ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка

1. y ``= f ( x ), y `= p ,где p = p ( x ); y ``= p `; p `= f ( x ); dp / dx = f ( x ) отсюда p = ; y `= ; dy / dx = ; dy = ) dx интегрируем,:

2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`

p `= f ( x , p ( x )); интегрируем, p =  

подставляем y `, все аналогично отсюда ответ:

y =

3. y ``= f ( y , y `), y `= p ; p = p ( y ) – сложная ф-я y

y ``= p ` y `= p ` p ; p ` p = f ( y , p ) или ( dp / dy )* p ( y )= f ( y , p ( y )).

P =

P заменяем на y ` получим

x =

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: