Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.св-ва.

Рассм. =-1

x 1, x 2 = ; = i – мнимая единица

=-1

z = a + bi ; a , b , i - мнимая единица – комплексное число

A – действительная часть компл.числа, b - мнимая часть z

= a - bi – сопряженное z

z * =

Комплексные числа расп-ны на пл-ти, кроме оси ОХ

z = a + bi

Любое компл число можно записать в тригон форме

Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение.

Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:

(1) y ``+ py `+ qy = r ( x ) p , q принадл. R , r ( x ) – функция

Если r ( x ) =0, то

(2) y ``+ py `+ qy =0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.

Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2)

Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D >0 тогда общее решение:

y = C 1 C 1, C 2 прин. R

2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D =0

y = C 1, C 2 прин. R

3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-β i ; λ2= α+β i ;

y = C 1 C 1, C 2 прин. R

92,93Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение y ´´+ py ´+ qy = r ( x ) /где p, q ? R , r ( x )-функция.

которое имеет вид y = yO + y Ч, где

yO -общее решение уравнения y ´´+ py ´+ qy =0

y Ч-частное решение уравнения y ´´+ py ´+ qy = r ( x ) , которое зависит

От вида правой части,т.е r ( x )

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) r ( x )= Pn ( x ) ,где Pn ( x ) – многочлен степени « n »

В этом случае решение y Ч ищут из уравнения к²+ p к+ q =0 в виде:

• y Ч= Qn ( x ) при q ≠0

• y Ч= x Qn ( x ) q =0, p ≠0

• y Ч= x ² Qn ( x ) q = p =0

2) r ( x )=а  где а,м ? R , а,м =со nst

Вид частного решения следущее:

• y Ч=А  если «м» не явл корнем Ур-я к²+ p к+ q =0

(корни некратные,некомплексные)

• y Ч=А x если «м» –простой корень ур-я к²+ p к+ q =0

• y Ч=А x ² если «м»-кратный корень Ур-я к²+ p к+ q =0

3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const

• y Ч= Acosmx + Bsinmx при условии что p ²+( q - m ²)≠0

• y Ч= x ( Acosmx + Bsinmx ) если p ²+( q - m ²)=0, p =0, q = m ²

94.Числовой ряд и его сходимость.

Пусть задана бескон послед-ть чисел …

Тогда + +… +…=  (1) наз числовым рядом, а числа  -члены ряда, -общий член ряда.

Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).

Сумма вида =

                 = + = +

                  = + +… = +

Называется частичными суммами ряда 1,

а последовательность  (2) называется последовательность частичных сумм ряда (1)

Ряд (1) наз сход,если сх-ся посл-ть его частичных сумм(2)

т.е если = S

При этом число S называется суммой ряда (1)

А если =  или не сущ то ряд (1) наз расход.

Примеры рядов:

•    расходится

•     сходится

• =  сх-ся только если / q /<1 => S = , q ≠0

Док-во расх-ти гармонического ряда по Коши: f ( x )=1/ x = ; = ( lnx ) = ( lnB *0),где lnB →

Свойства сходящихся рядов

Пусть задан ряд (1),если в ряде 1 отбросить первые n членов , то пол-м ряд (3) = + +…+ … , кот наз остатком ряда (1)

ТЕОРЕМА:

Ряд 1 и его остаток-ряд 3 сх-ся или расх-ся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть -частичная сумма ряда 1 ,а  -частичная сумма ряда 3. ТО = +

= ( + ) и посл пр-л сущ, если сущ пр-л .

СЛЕДСТВИЕ:

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: