Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.

Теория процентов

Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.

f(t) = (1+i)^t < g(t) = 1+ ti, если 0 < t < 1

f(t) = (1+i)^t > g(t) = 1+ ti, если t >1

Для второй функции f(t) имеем f’(t)= ln²(1+i)(1+i)^t > 0, следовательно, f(t) является выпуклой вниз функцией при t > 0, а g(t) = 1+it является хордой к f(t), т.к. уравнение f(t)=g(t) или (1+i)^t = 1+itимеет два решения: t=0, t=1.

Следовательно, (1+i)^t < 1+ti, если 0 < t < 1, и (1+i)^t > 1+ti, если t > 1.

Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.

Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

По второму замечательному пределу , следовательно

 

Эффективная ставка процента

Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов (3 случая).

· m-кратное начисление процентов

=> iэф=i

· n-ый период начисления

 

 

· инфляция

 

Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая).

· m-кратное начисление процентов

· n-тый период начисления

· инфляция

Эквивалентность различных процентных ставок

Эквивалентность простых и сложных процентов

В простейшем случае однократного начисления процентов имеем:

Откуда

В случае m-кратного начисления процентов имеем за n-периодов

Откуда

 

Эквивалентность простых и непрерывных процентов

 

 

Эквивалентность сложных и непрерывных процентов

Приравняем наращенные суммы в случае начисления сложных и непрерывных процентов за n-периодов

Где

- ставка сложных процентов

- ставка непрерывных процентов

Сокращая это неравенство на , и извлекая из обеих частей корень n степени (для сокращения n в показателе степени), получим

 

“Правило 70”, “Правило 100”, увеличение капитала в произвольное число раз

Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.

 отсюда , разлагая по степеням i, получим  следовательно,  откуда , окончательно получаем

Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.

разлагая по степеням i, получим

Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

Выведите “Правило 100”

 отсюда  откуда , или (если i выражена в %)

14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае сложных процентов.

Рассмотрим задачу об увеличении капитала в произвольное (n) число раз в схеме сложных процентов при данной процентной ставке i. Это правило легко получить из формулы сложных процентов.

Действительно, , отсюда . Разлагая  по степеням i, получим . Следовательно, , откуда

Учет следующего (квадратичного) по i члена в разложении  дает результат

Учитывающий срок роста капитала в n раз на  

Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме сложный процентов при данной процентной ставке i необходимо в “Правиле 70” лишь сделать замену

15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае простых процентов.

В случае простых процентов имеем

Отсюда n = 1 + Ti, откуда

Например, при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза за

16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае кратного начисления сложных процентов.

При m-кратном начисление процентов за период имеем:

Отсюда

Таким образом, в этом случае имеем точную формулу

Разлагая  по степеням i, получим  . Следовательно,

 

17. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае непрерывных процентов.

= ; = = отсюда lnn = Ti . Следовательно, T = .

Инфляция

Выведите формулу Фишера.

Предполагается, что инфляция составляет долю  в год, если стоимость товара за год увеличивается в  раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в  раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы будет в  раза меньше:

В формуле выше мы обозначили через  процентную ставку с учетом инфляции (i по-прежнему ставку процента без учета инфляции), для которой получили следующее выражение (Формула Фишера):

 

19. Темпы инфляции за по­следовательные периоды времени  равны  соответственно. Найдите темп инфляции  за период .

Выражение для темпа инфляции за суммарный период t : в конце 1 периода , а с учетом инфляции ; в конце 2 периода , а с уч. инфл. . Следовательно, в конце n-го периода , а с учетом инфляции. . C другой стороны, при темпе инфляции  в конце периода t:   . Приравнивая правые части, получ.: . Отсюда

При

Финансовые потоки, ренты

Расчет параметров ренты

25. Пусть известны n , i , R . Найдите наращенную сумму S и приведенную величину A годовой ренты.

Рента постнумерандо:

 

Рента пренумерандо:

26. Пусть известны A , i , R . Найдите срок ренты n .

27. Пусть известны S , i , R . Найдите срок ренты n .

 

 

 

28. Пусть известны n , i , A . Найдите рентный платеж .

 

Пусть известны n , i , S .   Найдите рентный платеж .

28*.Пусть известны n, i, S. Найти рентный платеж R.

 

29. Пусть заданы n , R , A . Найдите процентную ставку i .

Не решается аналитически, можно решить только приближенно. Для нахождения процентной ставки i можно использовать линейное приближение либо итерационный метод(метод подбора значений). В линейном приближении зная R и А сначала находим коэффициент приведения: .

Далее находим процентную ставку i по интерполяционной формуле:

,

где a₁ и а₂ – значения коэффициента приведения при минимальной и максимальной процентной ставке (i₁ и i₂ соответственно);

а - значение коэффициента приведения при искомой процентной ставке i.

30. Пусть заданы n , R , S . Найдите процентную ставку i .

Не решается аналитически, можно решить только приближенно. Для нахождения процентной ставки i можно использовать линейное приближение либо итерационный метод (метод подбора значений).  В линейном приближении зная R и S сначала находим коэффициент наращения: . Далее находим процентную ставку i по интерполяционной формуле:

,

где s₁ и s₂ – значения коэффициента наращения при минимальной и максимальной процентной ставке (i₁ и i₂ соответственно);

s - значение коэффициента наращения при искомой процентной ставке i.

Доходность актива

Портфельный анализ

Опишите портфель Тобина.

Найти портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности.

при

   

Переформулируем задачу, исключив .

Составим функцию Лагранжа.

 

Выразим X из первого, подставим во второе.

Обозначим:

 

80. Докажите, что прямая  является касательной к графику минимальной границы .

Для доказательства найдём точки пересечения гиперболы  и прямой , решая совместно их уравнения, убедимся, что такая точка одна.

Приравнивая правые части и , получим

= .

Далее получим квадратное относительно µ уравнение и найдём его корни:

.

Дискриминант данного уравнения равен нулю:

.

Это доказывает, что прямая  является касательной к графику минимальной границы .

Найдём теперь координаты точки касания (координаты касательного портфеля):

Итак, эффективность касательного портфеля µ_T равна:

.

Подставляя найденное значение эффективности µ_T в уравнение касательной, найдём риск касательного портфеля σ_Т:

Итак, для координат касательного портфеля имеем

Теория процентов

Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.

f(t) = (1+i)^t < g(t) = 1+ ti, если 0 < t < 1

f(t) = (1+i)^t > g(t) = 1+ ti, если t >1

Для второй функции f(t) имеем f’(t)= ln²(1+i)(1+i)^t > 0, следовательно, f(t) является выпуклой вниз функцией при t > 0, а g(t) = 1+it является хордой к f(t), т.к. уравнение f(t)=g(t) или (1+i)^t = 1+itимеет два решения: t=0, t=1.

Следовательно, (1+i)^t < 1+ti, если 0 < t < 1, и (1+i)^t > 1+ti, если t > 1.

Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: