Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

По второму замечательному пределу , следовательно

 

Эффективная ставка процента

Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов (3 случая).

· m-кратное начисление процентов

=> iэф=i

· n-ый период начисления

 

 

· инфляция

 

Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая).

· m-кратное начисление процентов

· n-тый период начисления

· инфляция

Эквивалентность различных процентных ставок

Эквивалентность простых и сложных процентов

В простейшем случае однократного начисления процентов имеем:

Откуда

В случае m-кратного начисления процентов имеем за n-периодов

Откуда

 

Эквивалентность простых и непрерывных процентов

 

 

Эквивалентность сложных и непрерывных процентов

Приравняем наращенные суммы в случае начисления сложных и непрерывных процентов за n-периодов

Где

- ставка сложных процентов

- ставка непрерывных процентов

Сокращая это неравенство на , и извлекая из обеих частей корень n степени (для сокращения n в показателе степени), получим

 

“Правило 70”, “Правило 100”, увеличение капитала в произвольное число раз

Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.

 отсюда , разлагая по степеням i, получим  следовательно,  откуда , окончательно получаем

Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.

разлагая по степеням i, получим

Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

Выведите “Правило 100”

 отсюда  откуда , или (если i выражена в %)

14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае сложных процентов.

Рассмотрим задачу об увеличении капитала в произвольное (n) число раз в схеме сложных процентов при данной процентной ставке i. Это правило легко получить из формулы сложных процентов.

Действительно, , отсюда . Разлагая  по степеням i, получим . Следовательно, , откуда

Учет следующего (квадратичного) по i члена в разложении  дает результат

Учитывающий срок роста капитала в n раз на  

Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме сложный процентов при данной процентной ставке i необходимо в “Правиле 70” лишь сделать замену

15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае простых процентов.

В случае простых процентов имеем

Отсюда n = 1 + Ti, откуда

Например, при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза за

16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае кратного начисления сложных процентов.

При m-кратном начисление процентов за период имеем:

Отсюда

Таким образом, в этом случае имеем точную формулу

Разлагая  по степеням i, получим  . Следовательно,

 

17. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз ( n ) при данной процентной ставке i в случае непрерывных процентов.

= ; = = отсюда lnn = Ti . Следовательно, T = .

Инфляция

Выведите формулу Фишера.

Предполагается, что инфляция составляет долю  в год, если стоимость товара за год увеличивается в  раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в  раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы будет в  раза меньше:

В формуле выше мы обозначили через  процентную ставку с учетом инфляции (i по-прежнему ставку процента без учета инфляции), для которой получили следующее выражение (Формула Фишера):

 

19. Темпы инфляции за по­следовательные периоды времени  равны  соответственно. Найдите темп инфляции  за период .

Выражение для темпа инфляции за суммарный период t : в конце 1 периода , а с учетом инфляции ; в конце 2 периода , а с уч. инфл. . Следовательно, в конце n-го периода , а с учетом инфляции. . C другой стороны, при темпе инфляции  в конце периода t:   . Приравнивая правые части, получ.: . Отсюда

При

Финансовые потоки, ренты

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: