Кузнецова И.А., Мыльцина О.А., Чернявский И.Я.

Кузнецова И.А., Мыльцина О.А., Чернявский И.Я.

К89   Теория вероятностей и математическая статистика: В 2 ч. Ч. 1.
     Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов заоч. отделения
     мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. – 60 с.: ил.

ISBN 978-5-292-03912-9

В пособии излагаются основные идеи и методы теории вероятностей, рассматривается фундаментальное понятие случайной величины, изучаются важнейшие классы случайных величин и их характеристики, исследуется предельное поведение случайных величин. Приведены контрольные вопросы и тестовые задания.

Для студентов заочного отделения механико-математического факультета. Оно может быть полезно также студентам дневного отделения факультетов, на которых преподается «Теория вероятностей и математическая статистика».

Рекомендуют к печати:

Кафедра теории вероятностей, математической статистики

и управления стохастическими процессами

механико-математического факультета

Саратовского государственного университета

Доктор физико-математических наук В.В. Розен

Доктор технических наук Ю.И. Митрофанов

УДК 519.2(0.75.4)

ББК 22.17я73

Работа издана в авторской редакции

ISBN 978-5-292-03912-9 © Кузнецова И.А, Мыльцина О.А.,

Чернявский И.Я., 2009

университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..................................................................................................................... 4

Модуль 1. Конечное вероятностное пространство .................................................. 7

Тема 1. Конечное вероятностное пространство .................................................. 7

Тема 2. Условная вероятность. Независимость событий ................................... 10

Тема 3. Случайные величины и их характеристики ........................................... 13

Контрольные вопросы ........................................................................................... 16

Тестовые задания .................................................................................................... 18

Ответы ..................................................................................................................... 19

Модуль 2. Случайные величины и их распределения в конечном

вероятностном пространстве .................................................................... 19

Тема 4. Независимость случайных величин ........................................................ 19

Тема 5. Распределения Бернулли и Пуассона ...................................................... 22

Тема 6. Закон больших чисел ................................................................................ 25

Контрольные вопросы ........................................................................................... 27

Тестовые задания .................................................................................................... 28

Ответы ..................................................................................................................... 29

Модуль 3. Случайные величины и их распределения в вероятностном

пространстве общего вида ......................................................................... 30

Тема 7. Вероятностные пространства общего вида ............................................ 30

Тема 8. Случайные величины. Математическое ожидание ............................... 32

Тема 9. Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно
непрерывные распределения ................................................................... 35

Контрольные вопросы ........................................................................................... 39

Тестовые задания .................................................................................................... 40

Ответы ..................................................................................................................... 42

Модуль 4. Функции распределения и характеристические функции

случайных величин ..................................................................................... 42

Тема 10. Функция распределения случайной величины, ее свойства .............. 42

Тема 11. Случайные векторы ................................................................................ 46

Тема 12. Характеристические функции. Центральная предельная теорема

и теорема Муавра – Лапласа, их применение ..................................... 49

Контрольные вопросы ........................................................................................... 56

Тестовые задания .................................................................................................... 57

Ответы ..................................................................................................................... 58

Список рекомендуемой литературы ............................................................................. 59

Введение

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является одним из основных для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика». Цель курса – усвоение сущности и условий применимости теории вероятностей, изучение вероятностных и статистических закономерностей, законов распределения, наиболее употребляемых в социально-экономических приложениях, методов статистической обработки экспериментальных данных.

«Теория вероятностей и математическая статистика» относится к числу прикладных математических дисциплин, поскольку она направлена на решение задач и возникла из практических потребностей, но в ней широко используются математические методы. Для усвоения курса необходимо знание теории множеств, математического анализа, линейной алгебры. Главное внимание в курсе лекций уделяется изложению разделов теории вероятностей и математической статистики, используемых в приложениях. Знание курса «Теория вероятностей и математическая статистика» нужно для усвоения таких дисциплин, как «Теория игр», «Математические методы в экономике», «Эконометрика», «Имитационное моделирование социально-экономических процессов» и др.

Содержание курса разбито на 7 модулей, каждый из которых содержит теоретический материал, контрольные вопросы, позволяющие проверить усвоение теории, и тестовые задания для подготовки к итоговому тестированию. Первая часть курса (модули 1 – 4) посвящена «Теории вероятностей», вторая (модули 5 – 7) – «Математической статистике».

В первом модуле излагаются три темы: «Конечное вероятностное пространство», «Условная вероятность. Независимость событий» и «Случайные величины и их характеристики».

В первой теме модуля рассматривается построение теоретико-вероятностной модели случайного эксперимента с конечным числом исходов, вводится понятие вероятности и исследуются ее свойства. Вторая тема посвящена условной вероятности и независимости событий. Наиболее важной в данном модуле является тема «Случайные величины и их характеристики», где рассмотрены основополагающие понятия случайной величины и ее распределения, рассматриваются математическое ожидание
и дисперсия случайной величины, их свойства и методы вычисления.
Контрольные вопросы призваны обратить внимание студентов на основные свойства вероятности и характеристик случайных величин. Тестовые задания ориентированы на применение изученных свойств при исследовании событий и случайных величин.

Второй модуль содержит темы «Независимость случайных величин», «Распределения Бернулли и Пуассона», «Закон больших чисел».

В первой теме модуля приводится определение независимости случайных величин, формулируется и доказывается критерий независимости. Обращается внимание на свойства, присущие только независимым случайным величинам. Также вводится и исследуется коэффициент корреляции, характеризующий меру зависимости случайных величин. В теме «Распределения Бернулли и Пуассона» вводятся и исследуются вышеупомянутые распределения, их характеристики и области применения. В третьей теме модуля рассматриваются закономерности поведения последовательности случайных величин, проявляющиеся при большом числе опытов. Контрольные вопросы позволяют обратить внимание студентов на более важные моменты данной темы. В тестовых заданиях проверяется усвоение смысла и следствий независимости случайных величин, свойств коэффициента корреляции, формул Бернулли и Пуассона.

В третьем модуле рассматриваются темы «Вероятностные пространства общего вида», «Случайные величины. Математическое ожидание» и «Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения». Данный модуль является одним из самых сложных в курсе. Здесь мы отказываемся от требования конечности или счетности множества элементарных исходов и исследуем общий случай.

Первая тема модуля посвящена математически строгому построению вероятностных пространств общего вида. Во второй теме приводится определение случайной величины как измеримой функции случайного аргумента и строится теория математического ожидания как интеграл Лебега. Первые две темы предназначены в основном для студентов, желающих получить более глубокие знания по данному предмету. В третьей теме модуля рассматриваются два важнейших класса распределений: дискретные и абсолютно непрерывные. Приведены примеры случайных величин каждого из классов, выведены формулы для подсчета их характеристик. Следует обратить внимание на абсолютно непрерывные распределения, в частности, на нормальное распределение, играющее главную роль в теории вероятностей. В контрольных вопросах особое внимание обращается на методы вычисления характеристик дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. В тестах проверяется усвоение данных методов и понимание применяемых формул.

Четвертый модуль содержит темы «Функция распределения случайных величин», «Случайные векторы» и «Характеристические функции. Центральная предельная теорема и теорема Муавра – Лапласа, их применение».

В первой теме модуля изучаются функции распределения, позволяющие задавать явным образом как дискретные, так и абсолютно непрерывные распределения. Вторая тема посвящена случайным векторам, их распределениям и способам определения. Наиболее важной является третья тема модуля. В ней определяются и исследуются характеристические функции, позволяющие находить распределения сумм независимых случайных величин, вычислять их характеристики и т.п. Также в этой теме приведена центральная предельная теорема, играющая особую роль в теории вероятностей, и ее следствие – теорема Муавра – Лапласа. В контрольных вопросах особое внимание обращается на понимание свойств функций распределения и характеристических функций. Тестовые задания направлены на проверку знания функций распределения в конкретных случаях, а также методов их вычисления для дискретных и абсолютно непрерывных распределений.

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	в	б	б	в	а	б	а	г	г	б	в	г	б	в

Тема 6. Закон больших чисел

Содержательные теоремы теории вероятностей могут быть получены, если рассматривать не одно событие или случайную величину, а много. Для этого необходим аппарат, позволяющий с тем или иным приближением получать выводы о вероятностях разных событий, связанных с большим числом случайных величин. Одним из звеньев этого аппарата является неравенство Чебышева.

ТЕОРЕМА (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины и любого выполняется неравенство , называемое неравенством Чебышева.

Доказательство. Справедлива цепочка равенств и неравенств

откуда вытекает требуемое неравенство.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если выполняется условие . Обозначается .

ЛЕММА. Пусть – последовательность случайных величин. Для того чтобы последовательность сходилась по вероятности к 0 при , достаточно выполнения условия .

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева, получаем

, ,

то есть , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (закон больших чисел). Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющих условию (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда справедливо соотношение

называемое законом больших чисел.

Доказательство. Введем случайные величины

Тогда верны равенства .

Покажем, что выполняется условие . В самом деле, имеем

Следовательно, , то есть

что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Пусть – последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин, причем при всех . Тогда выполняется условие , .

Доказательство. В данном случае имеем

Тогда по закону больших чисел получаем

то есть , , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы

1. Как определяется независимость случайных величин?

2. Как формулируется критерий независимости случайных величин?

3. Какими свойствами обладают независимые случайные величины?

4. Как определяется коэффициент корреляции?

5. В каких пределах может находиться коэффициент корреляции?

6. Как формулируется формула Бернулли?

7. Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Бернулли с параметрами , ?

8. Как формулируется теорема Пуассона?

9. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром ?

10. Как определяется ?

11. Чему равно , , ?

12. Какие значения могут принимать параметры и в формуле Бер-
нулли?

13. Какие условия накладываются на вероятности в теореме Пуас-
сона?

14. Как формулируется неравенство Чебышева?

15. Как определяется сходимость последовательности случайных вели-
чин к случайной величине по вероятности?

16. Какое условие является достаточным для справедливости соотно-
шения ?

17. Как формулируется закон больших чисел?

18. Как формулируется следствие из закона больших чисел?

Тестовые задания

1. Независимость случайных величин необходима для выполнения
равенства:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Если случайные величины и независимы, то независимыми
являются и:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

3. Если случайные величины и независимы, то выполняются
равенства:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Какое из следующих равенств не верно?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Какое из данных чисел не может быть значением коэффициента
корреляции?

а) ; б) ; в) 2; г) 0.

6. Если , , , то равен:

а) 0,9; б) 0,09; в) 0,3; г) 0,03.

7. Правой частью формулы Бернулли является выражение ( – чис-
ло опытов, – число «успехов»):

а) ; б) ;

в) ; г) .

8. Если имеет распределение Бернулли с параметрами ,
, то верны оба равенства:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

9. Если имеет распределение Пуассона с параметром , то
верны оба равенства:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

10. Если имеет распределение Пуассона с параметром , то
равно:

а) 100; б) 110; в) 90; г) 10.

11. равно:

а) 5; б) не определено; в) 0; г) 1.

12. Выполнение какой пары условий требуется в теореме Пуассона?

а) ; б) ;

в) ; г) .

13. Фрагментом доказательства какого утверждения является соот-
ношение ?

а) формула Бернулли; б) теорема Пуассона;

в) неравенство Чебышева; г) закон больших чисел.

14. Неравенство Чебышева имеет следующий вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

15. Условие является достаточным для выполнения со-
отношения:

а) при ; б) при ;

в) ; г) .

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	б	а	б	в	а	в	а	г	б	г	в	в	а	в

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
б	а	г	в	в	а	г	г	в	а

Случайных величин

Ее свойства

Определение 10.1. Функцией распределения случайной величины ξ называется функция, определяемая формулой

ТЕОРЕМА 10.1. Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) (то есть функция распределения является непрерывной слева);

7) если – абсолютно непрерывно, и – плотность распределения, то ;

8) если – абсолютно непрерывно, – функция распределения, – плотность распределения, то во всех точках непрерывности справедливо равенство .

Предварительно сформулируем (без доказательства) следующую лемму.

ЛЕММА. Если события образуют возрастающую последовательность, то есть и , то . Если события образуют убывающую последовательность, то есть и , то .

Вернемся к доказательству теоремы:

1) если , то , следовательно, , то есть ;

2) ,

;

3) пусть , тогда , ;

4) , ;

5) ,

;

6) ;

7) пусть – абсолютно непрерывно, – плотность распределения, тогда ;

8) вытекает из 7).

Теорема доказана.

Пример 10.1. Пусть ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей: , где . Найти .

Рассмотрим значения функции распределения в каждом интервале, на которые разбивается числовая ось значениями случайной величины.

;

…

;

…

;

Таким образом, получаем функцию распределения в виде

График функции распределения дискретной случайной величины представлен на рис. 1.

Пусть случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда

Пример 10.2. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке , то есть

Подсчитаем .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда

Получаем функцию распределения в виде

На рис. 2 изображен график функции распределения равномерно распределенной абсолютно непрерывной случайной величины.

Пример 10.3. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром , то есть выполняется равенство

Подсчитаем при . Очевидно, что при .

Таким образом, получили

Тема 11. Случайные векторы

Определение 11.1. Борелевской -алгеброй в пространстве называется -алгебра, порожденная классом всех открытых параллелепипедов, то есть множеств вида . Данная -алгебра обозначается и множества из борелевской -алгебры называются борелевскими множествами. Таким образом будем рассматривать измеримое пространство .

Определение 11.2. Пусть – вероятностное пространство. Случайным вектором называется отображение , обладающее свойством .

Замечание. Каждый случайный вектор ξ представляет собой упорядоченный набор случайных величин: .

Определение 11.3. Пусть ξ – некоторый случайный вектор. Распределением данного случайного вектора называется отображение , удовлетворяющее равенствам

ТЕОРЕМА 11.1. Распределение удовлетворяет аксиомам Колмогорова и, следовательно, является вероятностью.

Теорему примем без доказательства.

Определение 11.4. Распределение случайного вектора ξ называется дискретным, если существует такое не более чем счетное множество , для которого .

Двумерный случайный вектор обычно обозначается . Дискретное распределение двумерного случайного вектора задается следующей таблицей

Здесь – значения, которые может принимать случайная величина ξ, – значения, которые может принимать случайная величина , и .

Определение 11.5. Распределение случайного вектора ξ называется абсолютно непрерывным, если существует такая измеримая функция , называемая плотностью распределения, для которой выполняется условие

ТЕОРЕМА 11.2. Плотность распределения случайного вектора обладает свойствами:

1) ; 2) почти всюду.

ТЕОРЕМА 11.3. Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда каждая компонента данного случайного вектора также имеет абсолютно непрерывное распределение, причем справедливы равенства:

, .

Доказательство. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется условие

Подсчитаем

. (***)

Равенство (***) означает, что ξ имеет абсолютно непрерывное распределение и . Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.4. Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда для того чтобы случайные величины и были независимы, необходимо и достаточно выполнение условия .

Доказательство

и независимы

Предположим, что . Подсчитаем

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.5. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , а случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью и случайные величины и независимы, то + также имеет абсолютно непрерывное распределение, плотность которого выражается равенством

Данная формула называется формулой свертки, или композицией распределений (приводится без доказательства).

И теорема Муавра – Лапласа,

Их применение

Определение 12.1. Пусть случайная величина ξ обозначается и определяется равенством , .

ТЕОРЕМА 12.1. Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) если , то ;

4) если – независимы, то выполняется равенство

;

5) пусть у характеристической функции существуют производные до порядка включительно, тогда выполняется равенство .

Доказательство

1) ;

2) ;

3) ,

;

4) – независимы тоже независимы,

;

5) докажем для случая, когда случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью :

; ;

;

…

;

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 12.2. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают.

Замечание. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей , то характеристическую функцию данной случайной величины можно вычислять по формуле

Пример 11.1. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром .

Таким образом, для распределения Пуассона .

Пусть имеем распределение Пуассона с параметром . Вычислим и .

;

ТЕОРЕМА 12.3. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , тогда случайная величина + имеет распределение Пуассона с параметром .

Доказательство 1. Рассмотрим

Доказательство 2

; ;

Получили характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром . Таким образом, + имеет распределение Пуассона с параметром .

Теорема доказана.

Замечание. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется равенство

Пример 11.2. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем .

тогда

(рассмотрим показатель

= (обозначим , ) =

(так как – интеграл Пуассона) =

Таким образом, .

Пусть ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем и .

;

ТЕОРЕМА 12.4. Если случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами и , то случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство. Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то и тогда .

Если , то .

Теорема доказана.

Замечание. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами . Тогда плотности распределения случайных величин и равны , .

По формуле свертки получаем

ТЕОРЕМА 12.5. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами и случайные величины и независимы, тогда + имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство. Выпишем характеристические функции данных случайных величин

, .

то есть получили характеристическую функцию для суммы + с параметрами .

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА (центральная предельная теорема). Пусть – последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых существует , . Обозначим , , . Тогда при выполнении условия при справедливо соотношение при и равномерно по .

Замечание. Поскольку , , то , а и тогда . Таким образом, слева в утверждении теоремы находится функция распределения нормированных сумм независимых случайных величин.

Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то .

Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то , а .

Итак, справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами . Таким образом, в центральной предельной теореме (ЦПТ) утверждается, что распределение последовательности нормированных сумм независимых случайных величин сходится к стандартному нормальному распределению.

Приведем пример использования ЦПТ.

Пусть дана последовательность случайных величин , удовлетворяющая условиям теоремы, и пусть требуется вычислить вероятность того, что . Имеем

где , – функция Лапласа. (Функция Лапласа обладает свойствами , , .)

Следствие (ТЕОРЕМА Муавра – Лапласа). Пусть дана последовательность испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов» в последовательности
n испытаний Бернулли. Тогда справедливо:

при n→∞ равномерно по x.

Доказательство. Определяем случайную величину равенством

Тогда имеет распределение , и ,

Теперь воспользуемся ЦПТ при

Проверим выполнение условия:

Заметим, что

;

Тогда при .

Таким образом, условие ЦПТ выполняется и, следовательно, справедливо утверждение ЦПТ. Тогда при равномерно по .

Теорема доказана.

Рассмотрим применение теоремы Муавра – Лапласа.

Пусть проводятся испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов». Имеем

Контрольные вопросы

1. Что такое функция распределения?

2. Какими свойствами обладает функция распределения?

3. Может ли функция распределения принимать значения ; ; ; 0; ; 1; 2?

4. Как связаны функция и плотность абсолютно непрерывного распределения?

5. Какой вид имеет функция равномерного распределения на отрезке ?

6. Какой вид имеет функция показательного распределения с параметром ?

7. Что такое случайный вектор?

8. Как определяется распределение случайного вектора?

9. Какими свойствами обладает плотность распределения случайного вектора?

10. Как, зная плотность распределения двумерного случайного вектора,
вычислить плотности распределения его компонент?

11. Как формулируется критерий независимости случайных величин,
имеющих абсолютно непрерывное распределение?

12. Как определяется характеристическая функция случайной величи-
ны ξ?

13. Какими свойствами обладает характеристическая функция случай-
ной величины ξ?

14. Чему равна характеристическая функция суммы независимых слу-
чайных величин?

15. Как вычисляется характеристическая функция для дискретных рас-
пределений?

16. Как вычисляется характеристическая функция для абсолютно непрерывных распределений?

17. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин,
имеющих распределение Пуассона с параметрами и соответ-
ственно?

18. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин,
имеющих нормальное распределение с параметрами и соответственно?

19. Как определяется функция Лапласа?

20. Какими свойствами обладает функция Лапласа?

21. Как формулируется центральная предельная теорема?

22. Как формулируется теорема Муавра – Лапласа?

Тестовые задания

1. Функция распределения случайной величины определяется ра-
венством:

а) ; б)

в) ; г) другое.

2. Если – функция распределения случайной величины ξ и
, то выполняется соотношение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Если – функция распределения, а – плотность распреде-
ления абсолютно непрерывной случайной величины и ,
то выполняется равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Функция равномерного распределения на отрезке имеет вид:

а) ; б)

в) г)

5. Если – плотность распределения случайного вектора
, то справедливо равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Характеристическая функция случайной величины ξ определяется
равенством:

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное рас-
пределение с плотностью , то выполняется равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

8. Независимость случайных величин ξ и η необходима для выпол-
нения равенств:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Функция Лапласа определяется равенством:

а) ; б) ;

в) ; г) .

10. Пусть и независимы, имеет распределение Пуассона с
параметром , имеет распределение Пуассона с параметром
. Тогда сумма + имеет распределение Пуассона, пара-
метр которого равен: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Б	а	а	б	г	г	а	в	в	б

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1988.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2000.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.

Учебное издание

Кузнецова Ирина Александровна,

Мыльцина Ольга Анатольевна,

Чернявский Иосиф Яковлевич

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие для студентов заочного отделения

механико-математического факультета

В двух частях

Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Ответственный за выпуск О.Л. Багаева

Технический редактор Л.В. Агальцова

Корректор Е.Б. Крылова

Оригинал-макет подготовлен О.А. Мыльциной, О.Л. Багаевой

Подписано в печать 13.05.2009.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 3,49(3,75). Уч.-изд. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 50.

Издательство Саратовского университета.

410012, Саратов, Астраханская, 83.

Типография Издательства Саратовского университета.
410012, Саратов, Астраханская, 83.