Дискретные и абсолютно непрерывные распределения

 

Определение 9.1. Пусть  – вероятностное пространство,  – множество действительных чисел,  – борелевская -алгебра,  – случайная величина. Распределением случайной величины  называется отображение , определенное по формуле

.

ТЕОРЕМА 9.1. Распределение  обладает свойствами:

1) ;

2) , если .

Доказательство

1)

2) ,

что и требовалось доказать.

Таким образом,  является вероятностью, а пространство
 –  вероятностным пространством.

Замечание. Вместо  можно было бы взять , а вместо  – соответствующую борелевскую -алгебру.

Определение 9.2. Функция  называется измеримой по Борелю, если выполняется условие , где , то есть прообраз любого борелевского множества является борелевским.

Практически все встречающиеся функции являются измеримыми по Борелю.

ТЕОРЕМА 9.2. Пусть  – случайная величина,  – измеримая функция. Тогда  является случайной величиной.

Доказательство. Пусть . Имеем

,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 9.3. Пусть  – случайная величина,  – измеримая функция. Справедливо равенство , причем левая и правая части равенства существуют или нет одновременно.

Доказательство. Имеем

.

С другой стороны,

.

Таким образом, интересующие нас интегралы являются пределами равных между собой сумм. Следовательно, они существуют или нет одновременно, а если существуют, то совпадают.

Теорема доказана.

Следствие. Справедливы равенства

, .

Определение 9.3. Распределение  называется дискретным, если в пространстве  имеется не более чем счетное множество точек , на котором сосредоточена мера  (то есть ).

В дискретном случае  полностью определяется мерами , приписанными отдельным точкам .

ЛЕММА. Пусть  – дискретное распределение, сосредоточенное на множестве . тогда для любого борелевского множества  справедливо равенство .

Доказательство. В самом деле,

,

что и требовалось доказать.

Случайная величина , имеющая дискретное распределение , сосредоточенное на , устроена следующим образом:  принимает значения лишь из , причем , является вероятностями отдельных значений. Такое распределение можно задать таблицей .

ТЕОРЕМА 9.4. Пусть  – случайная величина, имеющая дискретное распределение ,  – измеримая функция. Тогда справедливо равенство

, где .

Теорему примем без доказательства.

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Замечание. Данная формула и таблица распределения совпадают с теми, что мы имели в случае дискретного пространства . Сейчас  может иметь любую мощность, но случайная величина  принимает не более чем счетное число значений.

Определение 9.4. Распределение  называется абсолютно непрерывным, если для любого борелевского множества  справедливо равенство , где  – измеримая функция, называемая плотностью распределения.

ТЕОРЕМА 9.5. Плотность распределения  обладает следующими свойствами:

 1)  (с точностью до множества меры нуль);

 2) .

Доказательство

1) в самом деле, . Следовательно,  может быть отрицательной только на множестве нулевой меры;

    2) .

ТЕОРЕМА 9.6. Пусть  – абсолютно непрерывное распределение,  – его плотность,  – измеримая функция. Тогда справедливо равенство .

Доказательство. Сначала предположим, что  является простой функцией, то есть принимает лишь счетное множество значений: ,  где . Тогда случайная величина  имеет дискретное распределение. Следовательно, справедлива цепочка равенств

.

    Таким образом, требуемое равенство справедливо для простых функций . Для произвольных измеримых функций оно получается путем предельного перехода.

Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства

, .

Рассмотрим некоторые абсолютно непрерывные распределения.

1. Равномерное распределение на отрезке .

Данное распределение задается плотностью

Найдем  и .

.

.

2. Нормальное распределение с параметрами .

Плотность данного распределения имеет вид .

Нетрудно проверить, что смысл параметров  и  таков: , . С нормальным распределением мы еще встретимся, так как оно играет в теории вероятностей очень важную роль.

3. Показательное распределение с параметром .

Показательное распределение имеет плотность

Справедливы равенства , .

Постоянные множители находятся из условия . Например, если бы нам было известно, что плотность имеет вид  то  мы нашли бы таким образом:

.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое индикатор события?

2. Как определяется простая случайная величина?

3. Как вычисляется математическое ожидание простой случайной величины?

4. Какими свойствами обладает математическое ожидание простой случайной величины?

5. Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины?

6. Что такое распределение случайной величины?

7. Какими свойствами обладает распределение случайной величины?

8. Как определяется дискретное распределение?

9. По какой формуле вычисляется математическое ожидание дискретной случайной величины ξ?

10.  По какой формуле вычисляется математическое ожидание квадрата
 дискретной случайной величины ξ?

11.  По какой формуле вычисляется дисперсия дискретной случайной
 величины ξ?

12.  Как определяется абсолютно непрерывное распределение?

13.  Какими свойствами обладает плотность распределения?

14.  По какой формуле вычисляется математическое ожидание абсолют-
 но непрерывной случайной величины ξ?

15.  По какой формуле вычисляется математическое ожидание квадрата
 абсолютно непрерывной случайной величины ?

16.  По какой формуле вычисляется дисперсия абсолютно непрерывной
 случайной величины ?

17.  Как определяется плотность равномерного распределения на отрезке ?

18.  Чему равно математическое ожидание случайной величины ξ,
 имеющей равномерное распределение на отрезке ?

19.  Чему равна дисперсия случайной величины ξ, имеющей равномер-
 ное распределение на отрезке ?

20.  Как определяется плотность нормального распределения с парамет-
 рами ?

21.  Чему равно математическое ожидание случайной величины ξ,
 имеющей нормальное распределение с параметрами ?

22.  Чему равна дисперсия случайной величины  ξ, имеющей нормальное
 распределение с параметрами ?

23.  Как определяется плотность показательного распределения с пара-
 метром ?

24.  Чему равно математическое ожидание случайной величины ξ,
 имеющей показательное распределение с параметром ?

25.  Чему равна дисперсия случайной величины ξ, имеющей показатель-
 ное распределение с параметром ?

 

Тестовые задания

 

1. Плотность распределения случайной величины  обладает свой-
ствами:

а)      б)

в)       г)

2. Следующая функция может быть плотностью распределения слу-
чайной величины :

а)          б)

в)        г)

3. Если  имеет распределение, задаваемое таблицей
, то дисперсию  можно вычислить по формуле:

а) ;      б) ;

в) ;        г) .

4. Случайная величина  имеет абсолютно непрерывное распреде-
ление с плотностью . Тогда  можно вычислить по фор-
муле:

а) ;       б) ;

в) ;         г) .

5. Если случайная величина  имеет равномерное распределение на
отрезке , то верно равенство:

а)       б)

в)       г)

6. Случайная величина  имеет равномерное распределение на от-
резке . Тогда выполняется равенство:

a) ;       б) ;       в) ;  г) .

7. Случайная величина  имеет равномерное распределение на от-
резке . Тогда выполняется равенство:

a) ;       б) ;   в) ;       г) .

8. Плотность распределения случайной величины  имеет вид
 Тогда верны равенства:

a) ;        б) ;

в) ;       г) .

9. Плотность распределения нормальной случайной величины имеет
вид . Тогда верны равенства:

a) ;   б) ;

в) ;      г) .

10. Если случайная величина  имеет равномерное распределение на
отрезке , а случайная величина  – показательное распреде-
ление с параметром , то верно равенство:

a) ;         б) ;

в) ;       г) .

Ответы

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
б	а	г	в	в	а	г	г	в	а

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: