Модуль 2. Случайные величины и их распределения в конечном

              вероятностном пространстве ....................................................................      19

Тема 4. Независимость случайных величин ........................................................      19

Тема 5. Распределения Бернулли и Пуассона ......................................................      22

Тема 6. Закон больших чисел ................................................................................      25

Контрольные вопросы ...........................................................................................      27

Тестовые задания ....................................................................................................      28

Ответы .....................................................................................................................      29

Модуль 3. Случайные величины и их распределения в вероятностном

              пространстве общего вида .........................................................................      30

Тема 7. Вероятностные пространства общего вида ............................................      30

Тема 8. Случайные величины. Математическое ожидание ...............................      32

Тема 9. Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно      
                  непрерывные распределения ...................................................................      35

Контрольные вопросы ...........................................................................................      39

Тестовые задания ....................................................................................................      40

Ответы .....................................................................................................................      42

Модуль 4. Функции распределения и характеристические функции

              случайных величин .....................................................................................      42

Тема 10. Функция распределения случайной величины, ее свойства ..............      42

Тема 11. Случайные векторы ................................................................................      46

Тема 12. Характеристические функции. Центральная предельная теорема

           и теорема Муавра – Лапласа, их применение .....................................      49

Контрольные вопросы ...........................................................................................      56

Тестовые задания ....................................................................................................      57

Ответы .....................................................................................................................      58

Список рекомендуемой литературы .............................................................................      59

 

 

Введение

 

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является одним из основных для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика». Цель курса – усвоение сущности и условий применимости теории вероятностей, изучение вероятностных и статистических закономерностей, законов распределения, наиболее употребляемых в социально-экономических приложениях, методов статистической обработки экспериментальных данных.

«Теория вероятностей и математическая статистика» относится к числу прикладных математических дисциплин, поскольку она направлена на решение задач и возникла из практических потребностей, но в ней широко используются математические методы. Для усвоения курса необходимо знание теории множеств, математического анализа, линейной алгебры. Главное внимание в курсе лекций уделяется изложению разделов теории вероятностей и математической статистики, используемых в приложениях. Знание курса «Теория вероятностей и математическая статистика» нужно для усвоения таких дисциплин, как «Теория игр», «Математические методы в экономике», «Эконометрика», «Имитационное моделирование социально-экономических процессов» и др.

Содержание курса разбито на 7 модулей, каждый из которых содержит теоретический материал, контрольные вопросы, позволяющие проверить усвоение теории, и тестовые задания для подготовки к итоговому тестированию. Первая часть курса (модули 1 – 4) посвящена «Теории вероятностей», вторая (модули 5 – 7) – «Математической статистике».

В первом модуле излагаются три темы: «Конечное вероятностное пространство», «Условная вероятность. Независимость событий» и «Случайные величины и их характеристики».

В первой теме модуля рассматривается построение теоретико-вероятностной модели случайного эксперимента с конечным числом исходов, вводится понятие вероятности и исследуются ее свойства. Вторая тема посвящена условной вероятности и независимости событий. Наиболее важной в данном модуле является тема «Случайные величины и их характеристики», где рассмотрены основополагающие понятия случайной величины и ее распределения, рассматриваются математическое ожидание
и дисперсия случайной величины, их свойства и методы вычисления.
Контрольные вопросы призваны обратить внимание студентов на основные свойства вероятности и характеристик случайных величин. Тестовые задания ориентированы на применение изученных свойств при исследовании событий и случайных величин.

Второй модуль содержит темы «Независимость случайных величин», «Распределения Бернулли и Пуассона», «Закон больших чисел».

В первой теме модуля приводится определение независимости случайных величин, формулируется и доказывается критерий независимости. Обращается внимание на свойства, присущие только независимым случайным величинам. Также вводится и исследуется коэффициент корреляции, характеризующий меру зависимости случайных величин. В теме «Распределения Бернулли и Пуассона» вводятся и исследуются вышеупомянутые распределения, их характеристики и области применения. В третьей теме модуля рассматриваются закономерности поведения последовательности случайных величин, проявляющиеся при большом числе опытов. Контрольные вопросы позволяют обратить внимание студентов на более важные моменты данной темы. В тестовых заданиях проверяется усвоение смысла и следствий независимости случайных величин, свойств коэффициента корреляции, формул Бернулли и Пуассона.

В третьем модуле рассматриваются темы «Вероятностные пространства общего вида», «Случайные величины. Математическое ожидание» и «Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения». Данный модуль является одним из самых сложных в курсе. Здесь мы отказываемся от требования конечности или счетности множества элементарных исходов и исследуем общий случай.

Первая тема модуля посвящена математически строгому построению вероятностных пространств общего вида. Во второй теме приводится определение случайной величины как измеримой функции случайного аргумента и строится теория математического ожидания как интеграл Лебега. Первые две темы предназначены в основном для студентов, желающих получить более глубокие знания по данному предмету. В третьей теме модуля рассматриваются два важнейших класса распределений: дискретные и абсолютно непрерывные. Приведены примеры случайных величин каждого из классов, выведены формулы для подсчета их характеристик. Следует обратить внимание на абсолютно непрерывные распределения, в частности, на нормальное распределение, играющее главную роль в теории вероятностей. В контрольных вопросах особое внимание обращается на методы вычисления характеристик дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. В тестах проверяется усвоение данных методов и понимание применяемых формул.

Четвертый модуль содержит темы «Функция распределения случайных величин», «Случайные векторы» и «Характеристические функции. Центральная предельная теорема и теорема Муавра – Лапласа, их применение».

В первой теме модуля изучаются функции распределения, позволяющие задавать явным образом как дискретные, так и абсолютно непрерывные распределения. Вторая тема посвящена случайным векторам, их распределениям и способам определения. Наиболее важной является третья тема модуля. В ней определяются и исследуются характеристические функции, позволяющие находить распределения сумм независимых случайных величин, вычислять их характеристики и т.п. Также в этой теме приведена центральная предельная теорема, играющая особую роль в теории вероятностей, и ее следствие – теорема Муавра – Лапласа. В контрольных вопросах особое внимание обращается на понимание свойств функций распределения и характеристических функций. Тестовые задания направлены на проверку знания функций распределения в конкретных случаях, а также методов их вычисления для дискретных и абсолютно непрерывных распределений.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: