Тема 7. Вероятностные пространства общего вида

 

Откажемся теперь от конечности и счетности пространства элементарных исходов и перейдем к общему случаю. Итак, пусть имеется пространство элементарных исходов  произвольной мощности. В общей аксиоматике сохраняется понятие события как подмножества множества . Однако теперь не требуется, чтобы любое подмножество  было событием. Требуется лишь, чтобы теоретико-множественные операции, производимые над счетным числом событий, приводили опять к событиям.

Определение 7.1. Система  подмножеств множества  называется -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) , ;

2) если , то ;

3) если  – некоторое счетное семейство подмножеств  и при всех , то подмножества  и  также принадлежат .

Следующее определение дает нам способ задания интересующих нас -алгебр.

Определение 7.2. Пусть  – некоторый класс подмножеств .
-алгеброй, порожденной данным классом, называется наименьшая
-алгебра , содержащая данный класс.

Таким образом, если , то  – -алгебра, , и если
 – другая -алгебра, обладающая этим свойством, то .

Можно показать, что для любого класса  подмножеств  
-алгебра, порожденная данным классом, существует и единственна.

Воспользуемся описанной выше конструкцией для определения борелевской -алгебры на числовой прямой (аналогичным образом можно определить борелевскую -алгебру на любом отрезке числовой прямой).

Определение 7.3. Пусть  – класс всех открытых интервалов числовой прямой. -алгебра, порожденная данным классом, называется борелевской -алгеброй.

ТЕОРЕМА 7.1. Борелевская -алгебра на числовой прямой содержит следующие подмножества:

1) отдельные точки;

2) полуоткрытые и замкнутые интервалы;

3) множество рациональных точек;

4) множество иррациональных точек;

5) открытые множества;

6) замкнутые множества;

7) множества вида , где  – непрерывная функция,  –
 константа.

Доказательство

1) каждую точку  можно представить в виде
. Все интервалы – борелевские множества, и
их счетное пересечение – также борелевское;

2) утверждение следует из 1) и равенств ,
, ;

3) множество рациональных точек является борелевским как счет-
ное объединение отдельных точек;

4) множество иррациональных точек является борелевским как до-
полнение к множеству рациональных точек;

5) каждое открытое множество является борелевским как объеди-
нение счетного числа интервалов;

6) каждое замкнутое множество является борелевским как дополне-
ние к открытому множеству.

7) каждое множество вида  является борелевским как
замкнутое множество.

Пример множества, не являющегося борелевским, привести трудно. Все множества, имеющие практический интерес, являются борелевскими.

Определение 7.4. Пусть  – пространство элементарных исходов,
 – -алгебра событий. Вероятностью называется функция , обладающая свойствами:

1) , ,

2) если  – класс событий,  не более чем счетно, при всех , то верно равенство .

Последнее равенство называется свойством счетной аддитивности вероятности.

Замечание. Условия 1) и 2) называются аксиомами Колмогорова.

Определение 7.5. Тройка , где  – множество (называемое множеством элементарных исходов),  – -алгебра (называемая
-алгеброй событий),  – функция, обладающая свойствами 1) – 2) предыдущего определения (называемая вероятностью), называется вероятностным пространством.

ТЕОРЕМА 7.2. Вероятность обладает следующими свойствами:

1) ;                 2) ;  

3) ; 4) .

Доказательство

1) – 3) доказывается точно так же, как в конечном случае; 4) примем без доказательства.

Определение 7.6. Говорят, что имеется задача на геометрическую вероятность, если  – некоторая область в , , имеющая конечную лебеговскую меру,  – класс борелевских подмножеств , а вероятность  определяется формулой , где  – лебеговская мера множества .

Замечание. При , то есть на прямой,  – это длина или сумма длин; при , то есть на плоскости,  – это площадь или сумма площадей; при , то есть в пространстве,  – это объем или сумма объемов.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: