Тема 5. Распределения Бернулли и Пуассона

 

Определение 5.1. Последовательностью испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода («успех» и «неудача»), причем вероятность «успеха» не изменяется от испытания к испытанию.

Замечание. Построим вероятностное пространство, соответствующее испытаниям Бернулли. Пусть  – количество испытаний,  – вероятность «успеха» в одном испытании. При всех  положим , , . Определим вероятностное пространство  соотношениями

, ,

где  – количество «успехов» в последовательности  испытаний Бернулли.

При всех  вычислим . Имеем

,

где , .

Таким образом, получили равенство

,

называемое формулой Бернулли.

Пример 5.1. Производится пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет ровно три попадания.

Решение. Здесь испытанием является выстрел по мишени, «успехом» – попадание. Таким образом, , , . Имеем

.

ТЕОРЕМА 5.1. Если  – количество «успехов» в последовательности  испытаний Бернулли с вероятностью «успеха»  в одном испытании, то выполняются равенства , .

Доказательство. При всех  определим случайную величину  равенством

Тогда . Случайные величины  независимы, и распределение каждой из них задается таблицей , . Тогда имеем

, ,

, .

,

,

что и требовалось доказать.

Определение 5.2. Будем говорить, что случайная величина  имеет распределение Бернулли с параметрами , , где  – натуральное, , если ее распределение задается следующей таблицей: , где при всех

.

Замечания. 1. Если случайная величина  имеет распределение Бернулли с параметрами , , то выполняются равенства , .

2. При больших  вычисления по формуле Бернулли достаточно трудоемки, поэтому используют различные приближенные формулы. Одну из них дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА Пуассона. Пусть имеется последовательность серий испытаний Бернулли. В первой серии одно испытание, вероятность «успе-
ха» , количество «успехов» ; во второй серии два испытания, вероятность «успеха» , количество «успехов» ; в -й серии  испытаний, вероятность «успеха» , количество «успехов»  и т. д. Тогда, если выполняются условия , , то справедливо равенство .

Доказательство. С использованием формулы Бернулли имеем

.

Здесь использовался тот факт, что равенство  влечет за собой соотношение , где .

Выполняются условия

,

, .

Подставляя эти выражения в полученное равенство, находим , что и требовалось доказать.

Замечание. Пусть  – количество «успехов» в последовательности  испытаний Бернулли с вероятностью «успеха»  в каждом испытании. Тогда при больших  и малых  справедливо приближенное равенство , где , называемое формулой Пуассона.

Пример 5.2. Пусть , , . Тогда

, .

Определение 5.3. Будем говорить, что случайная величина  имеет распределение Пуассона с параметром , если ее распределение задается следующей таблицей: , где при всех .

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть случайная величина  имеет распределение Пуассона с параметром . Тогда справедливы равенства , .

Доказательство. Имеем

.

Итак, равенство  доказано. Равенство  примем без доказательства.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: