Тема 1. Конечное вероятностное пространство

 

    Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов, то есть таких экспериментов, исход которых не определяется однозначно условиями опыта. Типичным примером случайного эксперимента является бросание монеты: монета может упасть либо кверху гербом, либо кверху цифрой. Теория вероятностей имеет дело не с любыми случайными экспериментами, а лишь с экспериментами, обладающими свойствами статистической устойчивости, или устойчивости частот. Так, при большом числе независимых подбрасываний правильной монеты частота выпадения герба будет близка к . Однако в современной математической теории вероятностей оставляют в стороне проблему статистической устойчивости и рассматривают математическую модель, в которой отражены все возможные исходы эксперимента и считаются известными связанные с данным экспериментом вероятности. Наиболее простой вид эта модель имеет в случае, когда множество возможных исходов эксперимента конечно.

Определение 1.1. Множеством элементарных исходов некоторого случайного эксперимента называется множество .

Пример. Пусть эксперимент состоит в однократном подбрасывании шестигранного кубика, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Множество элементарных исходов в данном случае имеет вид .

Определение 1.2. Событием называется любое подмножество множества элементарных исходов. События будем обозначать буквами A,B,C… с индексом или без индекса.

Если имеется некоторое «событие» в интуитивном смысле этого слова , связанное со случайным экспериментом, то в теорико-вероятностной модели ему будет соответствовать подмножество A тех элементарных исходов, при которых данное «событие» (в интуитивном смысле) осуществляется. Так, с нашим примером (с бросанием кубика) связаны следующие «события»: – «количество выпавших очков чётно», – «количество выпавших очков не превосходит 4».

     В теоретико-вероятностной модели им соответствуют события

, .

     С помощью теоретико-множественных операций из одних событий можно получать другие.

     Определение 1.3. Событие, противоположное событию , обозначается  и определяется равенством . Читается «не ».

     Определение 1.4. Пересечение событий  и  обозначается  и определяется равенством

.

     Читается «  и ».

     Определение 1.5. Объединение событий  и  обозначается  и определяется равенством . Читается
«  или ».

     В нашем примере с бросанием кубика  («количество выпавших очков нечётно»);  («количество выпавших очков четно и не превосходит 4»);  («количество выпавших очков четно или не превосходит 4»).

     Напомним известные свойства теоретико-множественных операций, которые мы в дальнейшем будем использовать без специальных оговорок.

Ø, , , =Ø, , ,

Ø = Ø, Ø = , ,

, , .

     Определение 1.6. События  и  называются несовместными, если выполняется равенство = Ø.

     Определение 1.7. Пусть  – множество элементарных исходов. Вероятностью элементарных исходов называется отображение  множества элементарных исходов  в множество действительных чисел , обладающее свойствами .

Таким образом, каждому элементарному исходу  сопоставляется число , называемое вероятностью данного элементарного ис-
хода.

Замечание. Если все элементарные исходы равновозможны и их количество равно , то вероятность каждого элементарного исхода определяется равенством .

В примере подбрасывания кубика, если кубик симметричный, выполняется равенство .

Определение 1.8. Конечным вероятностным пространством называется пара , где  – конечное множество элементарных исходов,
 – вероятность элементарных исходов.

Определение 1.9. Пусть задано вероятностное пространство . Тогда вероятность любого события  обозначается  и определяется равенством .

В нашем примере

,

.

ТЕОРЕМА. Вероятность события обладает следующими свойствами:

1) (Ø) = 0, ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Ø ;

6) .

Доказательство

    1) Ø) = ;

    2) пусть , тогда верны соотношения

;

    3) поскольку , то из 2) следует неравенство

,

а из 1)  – ;

    4) справедлива цепочка равенств

.

    5) если , то   и .

    6) Так как  и , то верны соотношения , откуда вытекает равенство

.

Замечание. Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность любого события  можно вычислять по формуле , где  – количество элементов множества , а  – общее количество элементарных исходов. Данное равенство называется классическим определением вероятности. Словесно оно формулируется следующим образом: «Вероятность любого события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу элементарных исходов». В нашем примере

, , .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: