Тема 8. Случайные величины. Математическое ожидание

 

Для вероятностного пространства общего вида сохраняется определение случайной величины как функции , однако добавляется требование, заключающееся в том, что прообраз каждого борелевского множества должен являться событием.

Определение 8.1. Пусть  – вероятностное пространство,  – множество действительных чисел,  – -алгебра борелевских множеств. Случайной величиной называется отображение , обладающее свойством , где  – прообраз множества  при отображении .

Определение 8.2. Случайная величина  называется простой, если ее можно представить в виде , где  – действительные числа,  (  называется индикатором события ), система множеств  является разбиением , то есть обладает свойствами:

1)      2)      3)

Определение 8.3. Интегралом Лебега от простой случайной величины  (или математическим ожиданием этой случайной величины) называется выражение

,

если ряд в правой части сходится абсолютно.

ЛЕММА. Значение  не зависит от способа представления  в виде  , то есть, если , то .

Без доказательства.

ТЕОРЕМА 8.1. Если  и  – простые случайные величины и существуют интегралы  и , то  – также простая случайная величина и справедливо равенство .

Доказательство. Пусть , . Тогда  и  можно представить в виде ,  соответственно, где . Таким образом, справедливо равенство , то есть  является простой случайной величиной. Имеем далее

,

что и доказывает утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 8.2. Для простой случайной величины  и действительного числа  справедливо равенство .

Доказательство. Имеем , ,

,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 8.3. Если  – простая случайная величина, то справедливо неравенство .

Доказательство. Пусть . Имеем

,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 8.4. Если последовательность простых случайных величин  равномерно сходится к случайной величине , то последовательность интегралов  фундаментальна в смысле Коши.

Доказательство. В самом деле, имеем

.

ТЕОРЕМА 8.5. Для любой случайной величины  существует последовательность  простых случайных величин, сходящихся к  равномерно.

Доказательство. Определим при всех натуральных  и целых  множества . Положим , . Тогда из неравенства  вытекает, что  при  равномерно по , что и требовалось доказать.

Определение 8.4. Пусть  – последовательность простых случайных величин, сходящаяся к случайной величине  равномерно. Положим  (если предел правой части существует).

Замечание. Можно показать, что значение  не зависит от способа представления  в виде . В частности, с учетом теоремы справедливо равенство .

ТЕОРЕМА 8.6. Пусть  и  – случайные величины,  и  существуют. Тогда  также существует и справедливо равенство .

Доказательство. Пусть , . Тогда имеем

,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 8.7. Справедливо равенство .

Доказательство. Справедливость утверждений вытекает из цепочки равенств

.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: