Тема 6. Закон больших чисел

 

Содержательные теоремы теории вероятностей могут быть получены, если рассматривать не одно событие или случайную величину, а много. Для этого необходим аппарат, позволяющий с тем или иным приближением получать выводы о вероятностях разных событий, связанных с большим числом случайных величин. Одним из звеньев этого аппарата является неравенство Чебышева.

ТЕОРЕМА (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины  и любого  выполняется неравенство , называемое неравенством Чебышева.

Доказательство. Справедлива цепочка равенств и неравенств

.

откуда вытекает требуемое неравенство.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин  сходится по вероятности к случайной величине , если выполняется условие . Обозначается .

ЛЕММА. Пусть  – последовательность случайных величин. Для того чтобы последовательность  сходилась по вероятности к 0 при , достаточно выполнения условия .

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева, получаем

, ,

то есть , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (закон больших чисел). Пусть  – последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющих условию  (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда справедливо соотношение

называемое законом больших чисел.

Доказательство. Введем случайные величины

.

Тогда верны равенства .

Покажем, что выполняется условие . В самом деле, имеем

.

Следовательно, , то есть

,

что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Пусть  – последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин, причем при всех . Тогда выполняется условие , .

Доказательство. В данном случае имеем

.

Тогда по закону больших чисел получаем

то есть , , что и требовалось доказать.

 

Контрольные вопросы

 

1. Как определяется независимость случайных величин?

2. Как формулируется критерий независимости случайных величин?

3. Какими свойствами обладают независимые случайные величины?

4. Как определяется коэффициент корреляции?

5. В каких пределах может находиться коэффициент корреляции?

6. Как формулируется формула Бернулли?

7. Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Бернулли с параметрами , ?

8. Как формулируется теорема Пуассона?

9. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром ?

10.  Как определяется ?

11.  Чему равно , , ?

12.  Какие значения могут принимать параметры  и  в формуле Бер-
 нулли?

13.  Какие условия накладываются на вероятности  в теореме Пуас-
 сона?

14.  Как формулируется неравенство Чебышева?

15.  Как определяется сходимость последовательности случайных вели-
 чин  к случайной величине  по вероятности?

16.  Какое условие является достаточным для справедливости соотно-
 шения ?

17.  Как формулируется закон больших чисел?

18.  Как формулируется следствие из закона больших чисел?

Тестовые задания

 

1. Независимость случайных величин необходима для выполнения
равенства:

а) ;  б) ;

в) ;  г) .

2. Если случайные величины  и  независимы, то независимыми
являются и:

а)  и ;      б)  и ;      в)  и ;      г)  и .

3. Если случайные величины  и  независимы, то выполняются
равенства:

а) ;   б) ;   в) ;   г) .

4. Какое из следующих равенств не верно?

а) ;      

б) ;

в) ;

г) .

5. Какое из данных чисел не может быть значением коэффициента
корреляции?

         а) ;      б) ;      в) 2;      г) 0.

6. Если , , , то  равен:

         а) 0,9;      б) 0,09;      в) 0,3;      г) 0,03.

7. Правой частью формулы Бернулли является выражение (  – чис-
ло опытов,  – число «успехов»):

а) ;        б) ;  

в) ;     г) .

8. Если  имеет распределение Бернулли с параметрами ,
, то верны оба равенства:

а) , ;  б) , ;

в) , ;         г) , .

9. Если  имеет распределение Пуассона с параметром , то
верны оба равенства:

а) , ;      б) , ;

  в) , ; г) , .

10.  Если  имеет распределение Пуассона с параметром , то
 равно:

          а) 100;      б) 110;      в) 90;      г) 10.

11.  равно:

          а) 5;  б) не определено;      в) 0;      г) 1.

12.  Выполнение какой пары условий требуется в теореме Пуассона?

а) ; б) ;

в) ;         г) .

13.  Фрагментом доказательства какого утверждения является соот-
ношение ?

          а) формула Бернулли;             б) теорема Пуассона;

          в) неравенство Чебышева;      г) закон больших чисел.

14.  Неравенство Чебышева имеет следующий вид:

а) ;      б) ;

в) ;      г) .

15.  Условие  является достаточным для выполнения со-
 отношения:

а)  при ;                  б)  при ;

в) ;   г) .

Ответы

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: