Тема 3. Случайные величины и их характеристики

 

     Определение 3.1. Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной называется отображение  множества элементарных исходов  во множество действительных чисел .

     Замечание. Таким образом, каждому элементарному исходу  сопоставляется число .

     Пример 3.1. Пусть случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух монет, а случайная величина  – это количество выпавших гербов. Данную случайную величину можно задать следующей таблицей.

 

	(цифра, цифра)	(цифра, герб)	(герб, цифра)	(герб, герб)
	0	1	1	2

 

     Определение 3.2. Пусть задана случайная величина . Распределением данной случайной величины называется таблица

 

		…		…		,
		…		…

 

где  – значения, которые может принимать случайная величина , а  – вероятности этих значений. Таким образом, при всех  выполняются равенства . Числа  удовлетворяют условиям , , .

Пример 3.2. Распределение случайной величины из предыдущего примера выглядит так:

 

	0	1	2	.

Действительно, ,

,

.

Определение 3.3. Пусть задана случайная величина . Математическое ожидание данной случайной величины обозначается  и определяется равенством .

Замечание. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Пример 3.3. Математическое ожидание случайной величины из нашего примера равно

.

ТЕОРЕМА 3.1. Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

    1) , где  – некоторая константа;

    2) , где  и  – случайные величины,

и  – действительные числа;

     3) ;

     4) ;

     5) .

Доказательство

     1) ;

     2)

     ;

3) вытекает из 2) при ;

4) вытекает из 2) при ;

5) вытекает из 2) при .

     Следующая теорема позволяет вычислять математическое ожидание случайной величины, зная только её распределение.

     ТЕОРЕМА 3.2. Пусть распределение случайной величины  задается таблицей

		…		…		.
		…		…

Тогда математическое ожидание данной случайной величины можно вычислять по формуле .

Доказательство. Справедлива цепочка равенств

,

что и требовалось доказать.

     ТЕОРЕМА 3.3. Пусть распределение случайной величины  задано таблицей

		…		…		,
		…		…

 – некоторая функция. Тогда справедливо равенство . В частности, верна формула .

     Пример 3.4. Если распределение случайной величины  задано таблицей

	0	1	2	,

 

то выполняются равенства

, .

     Часто бывает важно знать не только среднее значение случайной величины, но и разброс её значений вокруг среднего. Для характеристики разброса служит дисперсия случайной величины.

     Определение 3.4. Дисперсия случайной величины  обозначается  и определяется равенством .

     ТЕОРЕМА 3.4. Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

     1) ;

     2) ;

     3) ;

     4)

Доказательство

     1)

         

          ;

     2) ;

     3)

          = ;

     4)

    

         

          .

     Определение 3.5. Ковариация случайных величин  и  обозначается  и определяется равенством

.

     Замечание. С учетом данного определения четвертое свойство дисперсии можно записать в виде .

 

Контрольные вопросы

 

1. Являются ли равновозможными при бросании двух монет исходы “выпадение двух «гербов»” и “выпадение одного «герба» и одной «цифры»”?

2. Как определяется вероятность события А?

3. Какими свойствами обладает вероятность события А?

4. Может ли вероятность некоторого события принимать следующие значения:

а) ; б) ;  в) 0; г) 5; д) ;  е) 1?

5. В каком случае пересечение двух событий является достоверным событием?

6. В каком случае объединение двух событий является невозможным событием?

7. Какому условию должны удовлетворять события А и В, чтобы выполнялось равенство ?

8. Какому условию должны удовлетворять события А и В, чтобы выполнялось равенство ?

9. Как определяется условная вероятность события А относительно события В?

10. Как называется равенство ? Что позволяет
 вычислить данная формула, при каких условиях?

11. Как называется равенство ? Что по-
 зволяет вычислять данная формула, при каких условиях?

12. Как определяется математическое ожидание случайной величины
? Какими свойствами оно обладает?

13. Как определяется дисперсия случайной величины ? Какими свой-
 ствами она обладает?

14. Может ли математическое ожидание случайной величины быть:
а) равным нулю; б) отрицательным?

15. Может ли математическое ожидание квадрата случайной величины
 быть: а) равным нулю; б) отрицательным?

16. Может ли дисперсия случайной величины быть: а) равной нулю;
 б) отрицательной?

17. Какому условию должны удовлетворять случайные величины  и ,
 чтобы выполнялось равенство ?

18. Какому условию должны удовлетворять случайные величины  и ,
 чтобы выполнялось равенство ?

19. В каком случае выполняется равенство ?

20. Чему равно ?

21. Чему равно ?

22. Чему равно ?

23. Чему равно ?

24. Чему равно ?

25. Чему равно ?

26. Как задается распределение случайной величины ?

27. По какой формуле, зная распределение случайной величины ,
 можно вычислить ?

28. По какой формуле, зная распределение случайной величины ,
 можно вычислить ?

29. По какой формуле, зная распределение случайной величины , мож-
 но вычислить ?

30. Как определяется ковариация случайных величин  и ?

 

Тестовые задания

 

1. Если , то  равна:

а) ;  б) ;      в) ;      г) .

2. Если , , , то  равна:

а) 0,08;      б) 0,5;      в) 0,6;      г) 0,8.

3. Если А и В независимы, , , то  равна:

а) ;      б) ;     в) ;      г) .

4. При доказательстве какого свойства вероятности используется
равенство ?

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

5. Условная вероятность события А относительно события В опре-
деляется равенством:

а) ;      б) ;

 в) ;  г) .

6. По формуле  вычисляется:

а) ;      б) ;      в) ;      г) .

7. Пусть распределение случайной величины  задается таблицей

		…		…		.
		…		…

Тогда  можно вычислять по формуле:

а) ;      б) ;  в) ;      г) .

8. Пусть , . Тогда  равно:

           а) 4;      б) 6;     в) 10;      г) 16.

9. Пусть , , . Тогда  равна:

а) 4;      б) 16;      в) 38;      г) 62.

10.  Если , , то  равно:

а) 125;      б) 115;      в) 100;      г) 25.

11.  Фрагментом доказательства какого утверждения является равен-
  ство ?

а) ; б) ;    в) ; г) .

12.  Если распределение случайной величины  задано таблицей
, то  равно: а) ;      б) ;      в) 0;      г) 2,5.

13.  Если распределение случайной величины  задано таблицей
, то  равно: а) ;      б) 0;      в) 5;      г) 25.

14.  В каком из вариантов верны оба утверждения?

 а) , ;       б) , ;

 в) , ;      г) , .

15.  Если , то  равна: а) ;      б) 0;      в) 5;      г) 25.

 

Ответы

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	в	б	б	в	а	б	а	г	г	б	в	г	б	в

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: