Тема 11. Случайные векторы

 

Определение 11.1. Борелевской -алгеброй в пространстве  называется -алгебра, порожденная классом всех открытых параллелепипедов, то есть множеств вида . Данная -алгебра обозначается  и множества из борелевской -алгебры называются борелевскими множествами. Таким образом будем рассматривать измеримое пространство .

Определение 11.2. Пусть  – вероятностное пространство. Случайным вектором называется отображение , обладающее свойством .

Замечание. Каждый случайный вектор ξ представляет собой упорядоченный набор  случайных величин: .

Определение 11.3. Пусть ξ – некоторый случайный вектор. Распределением данного случайного вектора называется отображение , удовлетворяющее равенствам

.

ТЕОРЕМА 11.1. Распределение  удовлетворяет аксиомам Колмогорова и, следовательно, является вероятностью.

Теорему примем без доказательства.

Определение 11.4. Распределение  случайного вектора ξ называется дискретным, если существует такое не более чем счетное множество , для которого .

Двумерный случайный вектор обычно обозначается . Дискретное распределение двумерного случайного вектора задается следующей таблицей

Здесь  – значения, которые может принимать случайная величина ξ,  – значения, которые может принимать случайная величина , и .

Определение 11.5. Распределение  случайного вектора ξ называется абсолютно непрерывным, если существует такая измеримая функция , называемая плотностью распределения, для которой выполняется условие

.

ТЕОРЕМА 11.2. Плотность распределения  случайного вектора  обладает свойствами:

1) ; 2)  почти всюду.

ТЕОРЕМА 11.3. Пусть случайный вектор  имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда каждая компонента данного случайного вектора также имеет абсолютно непрерывное распределение, причем справедливы равенства:

, .

Доказательство. Если случайная величина  имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется условие

.

Подсчитаем

.                (***)

Равенство (***) означает, что ξ имеет абсолютно непрерывное распределение и . Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.4. Пусть случайный вектор  имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда для того чтобы случайные величины  и  были независимы, необходимо и достаточно выполнение условия .

Доказательство

 и  независимы

.

Предположим, что . Подсчитаем

.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.5. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , а случайная величина  имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью  и случайные величины  и  независимы, то +  также имеет абсолютно непрерывное распределение, плотность которого выражается равенством

.

Данная формула называется формулой свертки, или композицией распределений (приводится без доказательства).

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: