|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 12. Характеристические функции.⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Центральная предельная теорема И теорема Муавра – Лапласа, Их применение
Определение 12.1. Пусть случайная величина ξ обозначается ТЕОРЕМА 12.1. Характеристическая функция обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) если 4) если
5) пусть у характеристической функции Доказательство 1) 2) 3) 4)
5) докажем для случая, когда случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью
…
Теорема доказана. ТЕОРЕМА 12.2. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают. Замечание. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей
Пример 11.1. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром
Таким образом, для распределения Пуассона Пусть имеем распределение Пуассона с параметром
ТЕОРЕМА 12.3. Пусть случайная величина Доказательство 1. Рассмотрим
Доказательство 2
Получили характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром Теорема доказана. Замечание. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью
Пример 11.2. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами
тогда
= (обозначим
Таким образом, Пусть ξ имеет нормальное распределение с параметрами
ТЕОРЕМА 12.4. Если случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами Доказательство. Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами Если Теорема доказана. Замечание. Пусть случайная величина По формуле свертки получаем
ТЕОРЕМА 12.5. Пусть случайная величина Доказательство. Выпишем характеристические функции данных случайных величин
то есть получили характеристическую функцию для суммы Теорема доказана. ТЕОРЕМА (центральная предельная теорема). Пусть Замечание. Поскольку Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами Итак, справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами Приведем пример использования ЦПТ. Пусть дана последовательность случайных величин
где Следствие (ТЕОРЕМА Муавра – Лапласа). Пусть дана последовательность
Доказательство. Определяем случайную величину
Тогда
Теперь воспользуемся ЦПТ при
Проверим выполнение условия:
Заметим, что
Тогда Таким образом, условие ЦПТ выполняется и, следовательно, справедливо утверждение ЦПТ. Тогда Теорема доказана. Рассмотрим применение теоремы Муавра – Лапласа. Пусть проводятся
Контрольные вопросы
1. Что такое функция распределения? 2. Какими свойствами обладает функция распределения? 3. Может ли функция распределения принимать значения 4. Как связаны функция и плотность абсолютно непрерывного распределения? 5. Какой вид имеет функция равномерного распределения на отрезке 6. Какой вид имеет функция показательного распределения с параметром 7. Что такое случайный вектор? 8. Как определяется распределение случайного вектора? 9. Какими свойствами обладает плотность распределения случайного вектора? 10. Как, зная плотность распределения двумерного случайного вектора, 11. Как формулируется критерий независимости случайных величин, 12. Как определяется характеристическая функция случайной величи- 13. Какими свойствами обладает характеристическая функция случай- 14. Чему равна характеристическая функция суммы независимых слу- 15. Как вычисляется характеристическая функция для дискретных рас- 16. Как вычисляется характеристическая функция для абсолютно непрерывных распределений? 17. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин, 18. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин, 19. Как определяется функция Лапласа? 20. Какими свойствами обладает функция Лапласа? 21. Как формулируется центральная предельная теорема? 22. Как формулируется теорема Муавра – Лапласа? Тестовые задания
1. Функция распределения случайной величины а) в) 2. Если а) в) 3. Если а) в) 4. Функция равномерного распределения на отрезке а) в) 5. Если а) в) 6. Характеристическая функция случайной величины ξ определяется а) 7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное рас- а) в) 8. Независимость случайных величин ξ и η необходима для выпол- а) в) 9. Функция Лапласа а) в) 10. Пусть Ответы
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1988. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2000. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.
Учебное издание
Кузнецова Ирина Александровна, Мыльцина Ольга Анатольевна, Чернявский Иосиф Яковлевич
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие для студентов заочного отделения механико-математического факультета
В двух частях
Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Ответственный за выпуск О.Л. Багаева Технический редактор Л.В. Агальцова Корректор Е.Б. Крылова Оригинал-макет подготовлен О.А. Мыльциной, О.Л. Багаевой
Подписано в печать 13.05.2009. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,49(3,75). Уч.-изд. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 50. Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83. Типография Издательства Саратовского университета. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 245; Нарушение авторского права страницы
и определяется равенством 
, 
.
;
;
, то 
;
– независимы, то выполняется равенство
;
существуют производные до порядка 
включительно, тогда 
выполняется равенство 
.
;
;
;
– независимы 
тоже независимы,
;
:
; 
;
;
;
;
;
.
, то характеристическую функцию данной случайной величины можно вычислять по формуле
.
.
.
.
.
. Вычислим 
и 
.
;
;
;
;
.
имеет распределение Пуассона с параметром 
, случайная величина 
имеет распределение Пуассона с параметром 
, тогда случайная величина 
.
.
; 
;
.
имеет распределение Пуассона с параметром 
.
, то выполняется равенство
.
. Подсчитаем 
.
,
(рассмотрим показатель
, 
) =
(так как 
– интеграл Пуассона) =
.
.
. Подсчитаем 
и 
;
.
;
.
.
и 
, то случайная величина 
имеет нормальное распределение с параметрами 
.
, то 
и тогда 
.
.
имеет нормальное распределение с параметрами 
, а 
имеет нормальное распределение с параметрами 
. Тогда плотности распределения случайных величин 
равны 
, 
.
.
, а 
независимы, тогда 
имеет нормальное распределение с параметрами 
.
, 
.
,
.
– последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых существует 
, 
. Обозначим 
, 
, 
. Тогда при выполнении условия 
при 
справедливо соотношение 
при 
.
, 
, то 
, а 
и тогда 
. Таким образом, слева в утверждении теоремы находится функция распределения нормированных сумм независимых случайных величин.
, то 
, а 
.
. Имеем
,
, 
– функция Лапласа. (Функция Лапласа обладает свойствами 
, 
, 
.)
испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» 
в каждом испытании. Пусть 
– количество «успехов» в последовательности 
при n→∞ равномерно по x.
равенством
, и 
,
.
.
.
;
.
при 
при 
в каждом испытании. Пусть 
.
; 
; 
; 0; 
; 1; 2?
?
?
и 
соответ-
и 
соответственно?
определяется ра-
; б) 
; г) другое.
– функция распределения случайной величины ξ и 
, то выполняется соотношение:
; б) 
;
; г) 
.
– функция распределения, а 
– плотность распреде-
и 
,
; б) 
;
; г) 
.
имеет вид:
; б) 
г) 
– плотность распределения случайного вектора
, то справедливо равенство:
; б) 
;
; г) 
.
; б) 
; в) 
; г) 
.
, то выполняется равенство:
; б) 
;
; г) 
.
; б) 
;
; г) 
.
определяется равенством:
; б) 
;
; г) 
.
независимы, 
, 
имеет распределение Пуассона с параметром
. Тогда сумма 
имеет распределение Пуассона, пара-
; б) 
; в) 
; г) 
.