Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 12. Характеристические функции.⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Центральная предельная теорема И теорема Муавра – Лапласа, Их применение
Определение 12.1. Пусть случайная величина ξ обозначается и определяется равенством , . ТЕОРЕМА 12.1. Характеристическая функция обладает следующими свойствами: 1) ; 2) ; 3) если , то ; 4) если – независимы, то выполняется равенство ; 5) пусть у характеристической функции существуют производные до порядка включительно, тогда выполняется равенство . Доказательство 1) ; 2) ; 3) , ; 4) – независимы тоже независимы, ; 5) докажем для случая, когда случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью : ; ; ; ; ; … ; . Теорема доказана. ТЕОРЕМА 12.2. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают. Замечание. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей , то характеристическую функцию данной случайной величины можно вычислять по формуле . Пример 11.1. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром . . . Таким образом, для распределения Пуассона . Пусть имеем распределение Пуассона с параметром . Вычислим и . ; ; ; ; . ТЕОРЕМА 12.3. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , тогда случайная величина + имеет распределение Пуассона с параметром . Доказательство 1. Рассмотрим . Доказательство 2 ; ; . Получили характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром . Таким образом, + имеет распределение Пуассона с параметром . Теорема доказана. Замечание. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется равенство . Пример 11.2. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем . , тогда = (рассмотрим показатель = (обозначим , ) = (так как – интеграл Пуассона) = . Таким образом, . Пусть ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем и . ; . ; . . ТЕОРЕМА 12.4. Если случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами и , то случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Доказательство. Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то и тогда . Если , то . Теорема доказана. Замечание. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами . Тогда плотности распределения случайных величин и равны , . По формуле свертки получаем . ТЕОРЕМА 12.5. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами и случайные величины и независимы, тогда + имеет нормальное распределение с параметрами . Доказательство. Выпишем характеристические функции данных случайных величин , . , то есть получили характеристическую функцию для суммы + с параметрами . Теорема доказана. ТЕОРЕМА (центральная предельная теорема). Пусть – последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых существует , . Обозначим , , . Тогда при выполнении условия при справедливо соотношение при и равномерно по . Замечание. Поскольку , , то , а и тогда . Таким образом, слева в утверждении теоремы находится функция распределения нормированных сумм независимых случайных величин. Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то . Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то , а . Итак, справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами . Таким образом, в центральной предельной теореме (ЦПТ) утверждается, что распределение последовательности нормированных сумм независимых случайных величин сходится к стандартному нормальному распределению. Приведем пример использования ЦПТ. Пусть дана последовательность случайных величин , удовлетворяющая условиям теоремы, и пусть требуется вычислить вероятность того, что . Имеем , где , – функция Лапласа. (Функция Лапласа обладает свойствами , , .) Следствие (ТЕОРЕМА Муавра – Лапласа). Пусть дана последовательность испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов» в последовательности при n→∞ равномерно по x. Доказательство. Определяем случайную величину равенством Тогда имеет распределение , и , . Теперь воспользуемся ЦПТ при . Проверим выполнение условия: . Заметим, что ; . Тогда при . Таким образом, условие ЦПТ выполняется и, следовательно, справедливо утверждение ЦПТ. Тогда при равномерно по . Теорема доказана. Рассмотрим применение теоремы Муавра – Лапласа. Пусть проводятся испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов». Имеем .
Контрольные вопросы
1. Что такое функция распределения? 2. Какими свойствами обладает функция распределения? 3. Может ли функция распределения принимать значения ; ; ; 0; ; 1; 2? 4. Как связаны функция и плотность абсолютно непрерывного распределения? 5. Какой вид имеет функция равномерного распределения на отрезке ? 6. Какой вид имеет функция показательного распределения с параметром ? 7. Что такое случайный вектор? 8. Как определяется распределение случайного вектора? 9. Какими свойствами обладает плотность распределения случайного вектора? 10. Как, зная плотность распределения двумерного случайного вектора, 11. Как формулируется критерий независимости случайных величин, 12. Как определяется характеристическая функция случайной величи- 13. Какими свойствами обладает характеристическая функция случай- 14. Чему равна характеристическая функция суммы независимых слу- 15. Как вычисляется характеристическая функция для дискретных рас- 16. Как вычисляется характеристическая функция для абсолютно непрерывных распределений? 17. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин, 18. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин, 19. Как определяется функция Лапласа? 20. Какими свойствами обладает функция Лапласа? 21. Как формулируется центральная предельная теорема? 22. Как формулируется теорема Муавра – Лапласа? Тестовые задания
1. Функция распределения случайной величины определяется ра- а) ; б) в) ; г) другое. 2. Если – функция распределения случайной величины ξ и а) ; б) ; в) ; г) . 3. Если – функция распределения, а – плотность распреде- а) ; б) ; в) ; г) . 4. Функция равномерного распределения на отрезке имеет вид: а) ; б) в) г) 5. Если – плотность распределения случайного вектора а) ; б) ; в) ; г) . 6. Характеристическая функция случайной величины ξ определяется а) ; б) ; в) ; г) . 7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное рас- а) ; б) ; в) ; г) . 8. Независимость случайных величин ξ и η необходима для выпол- а) ; б) ; в) ; г) . 9. Функция Лапласа определяется равенством: а) ; б) ; в) ; г) . 10. Пусть и независимы, имеет распределение Пуассона с Ответы
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1988. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2000. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.
Учебное издание
Кузнецова Ирина Александровна, Мыльцина Ольга Анатольевна, Чернявский Иосиф Яковлевич
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие для студентов заочного отделения механико-математического факультета
В двух частях
Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Ответственный за выпуск О.Л. Багаева Технический редактор Л.В. Агальцова Корректор Е.Б. Крылова Оригинал-макет подготовлен О.А. Мыльциной, О.Л. Багаевой
Подписано в печать 13.05.2009. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,49(3,75). Уч.-изд. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 50. Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83. Типография Издательства Саратовского университета. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 218; Нарушение авторского права страницы