Построение областей устойчивости САУ

При синтезе САУ, когда требуется определить влияние каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят области устойчивости в пространстве этих параметров.

Области устойчивости – это совокупность значений параметров системы, при которых система устойчива.

При двух варьируемых параметрах это области на плоскости, при трёх – в трёхмерном пространстве. Если в пространстве всех своих параметров система не имеет области устойчивости, то она называется структурно неустойчивой. Построение границ областей устойчивости осуществляется с помощью критериев устойчивости. Для этой цели наиболее часто используется критерий Михайлова.

Метод построения областей устойчивости по критерию Михайлова называется D-разбиением.

Для применения метода D-разбиения необходимо иметь характеристическое уравнение

            .                                                 (68)

Для получения колебательной границы устойчивости в уравнении (68) делают подстановку , где  – мнимая единица,  – частота. В результате получается характеристический комплекс

               .                                                   (69)

Комплексная переменная тогда и только тогда равна 0, когда одновременно равны нулю её действительная и мнимая части, т.е.

                .                                                     (70)

Существует несколько методов выделения областей устойчивости:

1) метод штриховки;

2) применение критериев устойчивости;

3) метод проб.

При применении метода проб в исследуемой области назначают точку с определёнными значениями . При этих значениях находят значения коэффициентов характеристического уравнения, а затем с помощью любого критерия, использующего характеристическое уравнение, определяется устойчивость системы в данной точке. Если система устойчива (неустойчива) в данной точке, то она устойчива (неустойчива) во всей исследуемой области.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой САУ третьего порядка

                 ,                                                      (71)

где

       .

Построим область устойчивости.

Апериодическая граница устойчивости

                                      .                                                                           (72)

Граница с бесконечно большим корнем

                           .                                                                (73)

Колебательная граница устойчивости в соответствии с (70) и (71) определяется системой

                                                                                           (74)

Из второго уравнения системы (74) следует:

                                                                                                     (75)

Подстановка  в первое уравнение в (74) дает . Это уже найденная апериодическая граница устойчивости (72). Из (75) найдём  и подставим в первое уравнение системы (74). Тогда

                                     .                                                                          (76)

Это уравнение колебательной границы устойчивости.

Границы областей (72), (73), (76) изображены на рис. 22.

Найдем среди пяти областей область устойчивости. Для этого воспользуемся алгебраическими критериями устойчивости.

Необходимое условие устойчивости (положительность всех коэффициентов характеристического уравнения) дает

               .

Таким образом, областями устойчивости могут быть вторая или третья области. Для окончательного выявления области устойчивости воспользуемся критерием Гурвица применительно к системе третьего порядка. Этот критерий дает

                 ,

 

 

Рис. 22.

 

отсюда следует

                                     .                                                                         (77)

Граница области устойчивости дана в выражении (76). Тогда из неравенства (77) следует, что областью устойчивости является область II.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: